Cuál es la imagen inversa de una gavilla

Question

Dejemos que $f : X \rightarrow Y$ sea un mapa continuo de espacios topológicos y $\mathcal{G}$ una gavilla en $Y$ .

¿Qué es exactamente $f^{-1}\mathcal{G}$ ? Parece que deberíamos ser capaces de describir las secciones $f^{-1}\mathcal{G}(U)$ sobre algún subconjunto abierto $U$ como clases de equivalencia de los gérmenes, pero me confundo cuando trato de pensar qué es exactamente lo que los elementos de $f^{-1}\mathcal{G}(U)$ son.

Answer 1

La definición es bastante natural: Para dar un presheaf, se dice cuáles son sus secciones. Así que dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $X$ . Entonces

$$ f_{pre}^{-1}\mathcal G (U) := \lim_{V \supseteq f(U)} \mathcal G(V)$$

donde $V$ abarca los subconjuntos abiertos de $Y$ que contiene $f(U)$ . La razón por la que tenemos que ponernos elegantes y usar límites, es que $f$ no es necesariamente una cartografía abierta. ¿Qué significa esto? Las secciones de $f_{pre}^{-1}\mathcal G(U)$ son clases de equivalencia $[s,V]$ , donde $[t,W] \sim [s,V]$ es que hay algún $U^\prime$ contenida en ambos $V,W$ y que contiene $f(U)$ de manera que las restricciones de $s,t$ son iguales en $U^\prime$ . Sin embargo, esto no es una gavilla (si alguien tiene un ejemplo, donde las propiedades de la gavilla fallan, estaría encantado de verlo), así que tenemos que sheafificar. Pero la esencia está clara.

Esto es muy técnico, así que veamos algunos ejemplos.

• Si $f$ es la inclusión de un punto $x$ en $Y$ , $f:\{pt\} \to Y$ entonces $f^{-1}\mathcal G$ es sólo el tallo $\mathcal G_x$ .
• Si $f$ es un mapeo abierto (por ejemplo, si $f$ es plana), entonces $f^{-1}\mathcal G (U)$ es sólo $\mathcal G (f(U))$ .

También: Cuando se trata de gavillas coherentes, se define $f^\ast \mathcal F := f^{-1}\mathcal F \otimes _{f^{-1}\mathcal O_Y } \mathcal O_X$ . En el caso afín, esto sólo corresponde a productos tensoriales de los módulos correspondientes. Es decir, si a $A \to B$ es inducido por $\mathrm{Spec} B \to \mathrm{Spec} A$ y $\mathcal F= M^\sim$ es la gavilla asociada a la $A$ -Módulo $M$ entonces $f^\ast \mathcal F$ es sólo la gavilla asociada a la $B$ -Módulo $M \otimes_A B$ .

Una nota sobre el sheafyfing : A veces un presheaf no es un sheaf, por lo que hay que sheafificar. La sheafificación es "sólo" la mejor aproximación de $\mathcal F$ de manera que los tallos sean iguales. Así, $f^{-1}_{pre}\mathcal G$ y su sheafificación $f^{-1}\mathcal G$ está de acuerdo para conjuntos abiertos suficientemente pequeños.

Answer 2

@Fredrik

usted pide un ejemplo de un presheaf $\mathscr F = f_{pre}^{-1} (\mathscr G )$ que no es una gavilla: Tomemos un espacio topológico $Y$ , elija $X$ como dos copias disjuntas de $Y$ y establecer

$$f: X \longrightarrow Y$$

la proyección canónica. Tomemos $\mathscr G$ una gavilla en $Y$ . Para $V \subset Y$ abierto y $U := f^{-1}(V)$ tenemos $\mathscr F(U) = \mathscr G(V)$ . Por otro lado,

$$(f^{-1} \mathscr G) (U) := \mathscr F^{sh}(U)=\mathscr G(V) \times{} \mathscr G(V)$$

con la gavilla asociada $\mathscr F^{sh}$ .

Nota. Debido a los comentarios se ha cambiado coproducto por producto.

Answer 3

Me parece -- como advertencia, no he escrito nada -- que se podría definir $f^{-1}\mathscr{G}$ de la siguiente manera. Sobre un conjunto abierto $U \subset X$ una sección es un elemento $(s_p)_{p \in U}$ de $\prod_{p \in U} \mathscr{G}_{f(p)}$ tal que para cada $p \in U$ hay un barrio $U' \subset U$ de $p$ un conjunto abierto $V$ de $Y$ que contiene $f(U')$ y una sección $t \in \mathscr{G}(V)$ tal que $s_q = t_{f(q)}$ para $q \in U'$ . Esto debería ser sólo una carrera a través de las definiciones.

Así que eso no es muy profundo, pero por otro lado si se piensa en una gavilla dada por sus tallos y una regla para cuando una determinada colección de gérmenes es compatible y realmente viene de una sección entonces es muy natural.

Answer 4

Es exactamente lo que dijo Hoot. Si conoces los tallos, entonces sólo tienes que tomar la gavilla de secciones, es decir, mapas localmente compatibles $s:U\rightarrow \coprod_{x\in U}\mathscr{F}_x$ . En este caso $\mathscr{F}_x=f^{-1}\mathscr{G}_x=\mathscr{G}_{f(x)}$ .

Otra forma de ver esto es mediante el Espacio Etalé de un presheaf. En general, si $\mathscr{F}$ es un presheaf en $Y$ puede definir $\mathscr{F}^\sharp=\coprod_{x\in Y}\mathscr{F}_x$ y una proyección natural $\pi:\mathscr{F}^\sharp\rightarrow Y$ colapsando todos los puntos de $\mathscr{F}_x$ en $x$ . Puede definir una topología en $\mathscr{F}^\sharp$ que hace que $\pi$ un homeomorfismo local. Un subconjunto $W\subset \mathscr{F}^\sharp$ está abierto si $W=s(V)=\{s_x\in\mathscr{F}^\sharp\mid x\in V\}$ para algunos $V\subset Y$ abierto y $s\in \Gamma(V,\mathscr{F})$ . Por último, si $f^{-1}\mathscr{F}^\sharp$ es el pull-back topológico de $\mathscr{F}^\sharp$ por $f:X\rightarrow Y$ . Este como conjunto es sólo $\{(x,s)\in X\times\mathscr{F}^\sharp\mid f(x)=\pi(s)\}$ .

$$\begin{array}{ccc} f^{-1}\mathscr{F}^\sharp&\rightarrow&\mathscr{F}^\sharp\\ \downarrow&&\downarrow\\ U&\rightarrow&Y \end{array}$$

Por fin se puede ver $f^{-1}\mathscr{F}(U)$ como $Hom_Y(U,\mathscr{F}^\sharp)$ . Así que los mapas continuos de $U$ a $\mathscr{F}^\sharp$ que hace que todo se conmute.