Vamos $0<\epsilon<\frac{1}{2}$; $\mu$ denota la función de Moebius. Considerar las sumas $$ \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k^\epsilon}. $$ Hacer que cambiar el signo infinitamente muchas veces como $n\to\infty$? (como el Mertens función correspondiente a $\epsilon=0$)
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Peter Humphries
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daniel
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Titchmarsh* en p. 370 muestra que la convergencia de $W(x)= \sum_{n =1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$ $\sigma > 1/2$ es una condición necesaria y suficiente para la [verdad] de la hipótesis de Riemann.
También, suponiendo que RH, la suma converge a $1/\zeta(s)$ por cada $\sigma > 1/2.$ Para los valores de $\sigma$ para el cual la suma converge debe ser posible para acotar la suma en un barrio de lo suficientemente alto$n,$, por lo que la suma no iba a cambiar de signo.
También en RH, para $1/2<\sigma,$ Titchmarsh en 371-72 muestra que $M(x) = \sum_{n=1}^\infty\mu(x)=\Omega(x^{1/2})$ usando exactamente la misma técnica utilizada por Schmidt para mostrar que $\psi(x)-x=\Omega_\pm(x^{1/2}).$ Esto no puede ser extendida a $W(x)$ (al menos para este intervalo) si $W(x)$ no cambia de signo.
Como para $0<\sigma<1/2,$ este MO pregunta/respuesta parece cubrirlo. Como los comentarios a la nota, $W(x)$ diverge aquí. Hay un comentario en el MO pregunta que creo que es correcta y agradable. Suponga $W(x)$ es convergente para$\sigma_o <1/2$$(0,1/2).$, Entonces la serie converge en el semiplano $\sigma_o<\sigma.$, Pero hay al menos un cero de $\zeta(s)$ $\sigma = 1/2$ que es una singularidad de $W(x),$ contradiciendo la suposición.
*Titchmarsh, La Teoría de la Riemann Zeta función de
