¿Por qué es la primera forma fundamental considera intrínseca

Question

Estoy leyendo Kuhnel de la geometría diferencial libro, y en el capítulo 4, dice que "la geometría intrínseca de una superficie" pueden ser consideradas como cosas que se pueden determinar únicamente a partir de la primera forma fundamental. Pero estoy seguro de por qué la primera forma fundamental en sí misma puede ser considerada como algo intrínseco a la superficie. Kuhnel define la primera forma fundamental a ser el producto interior inducida a partir de la de $\mathbb{R}^3$ restringido a $T_pM$. Así que no es el más grande $\mathbb{R}^3$ utiliza?

Así que mi pregunta es: se Supone que tengo un suave 2-dimensiones del colector (por ejemplo, en el sentido definido por Lee la Introducción a la Suave Colectores), pero yo no lo pusieron en cualquier espacio ambiente. Hay una manera para mí para definir la primera forma fundamental? $T_pM$ es intrínsecamente definido (como el espacio de derivaciones en Lee el libro), y entonces, ¿qué es el producto interior que debo poner en $T_pM$?

Answer 1

Lo que estás buscando es conocida como una métrica de Riemann. Una forma de redacción es la siguiente. (Lee habla sobre estas más adelante en una forma ligeramente diferente de fraseo más tarde, en su libro).

Una métrica de Riemann sobre una suave colector $M$ es una opción de producto interior $g_p$ en cada espacio de la tangente $T_pM$ que varía suavemente, en el sentido de que dados cualesquiera dos liso campos vectoriales $X$$Y$$M$, la función de $g(X,Y) = p \mapsto g_p(X_p,Y_p)$ es suave.

Ahora vamos a empezar con una incrustación $f: M \hookrightarrow \Bbb R^n$. La primera forma fundamental nos da una métrica de Riemann en $M$ mediante el establecimiento $g_p(x,y) = Df(x) \cdot Df(y)$. Para ver que esto es suavemente variable, como se define anteriormente, tenga en cuenta los mapas de $TM \to \Bbb R^n \times \Bbb R^n \to \Bbb R^n, (p,v) \mapsto (f(p), Df(v)) \mapsto Df(v)$. Escritura suave, un campo de vectores $X$$p \mapsto (p,X(p))$. A continuación, el mapa de $M \to \Bbb R^n, p \mapsto Df(X(p))$ es suave, y así es el interior del producto mapa de $\Bbb R^n \times \Bbb R^n \to \Bbb R, (x,y) \mapsto x\cdot y$. Es fácil ver que $g(X,Y) = Df(X(p)) \cdot Df(Y(p))$, y que este último mapa es suave, como se desee.

Debo decir también que una suave colector ¿ no vienen automáticamente con una métrica de Riemann, que es mucho más estructura.

Answer 2

Como usted dijo, es una propiedad intrínseca si puede ser calculada con el conocimiento de la primera forma fundamental (métrica). Yo lo tomo en el sentido de una propiedad que un " ser " que viven en la superficie podría calcular. Por ejemplo, la curvatura Gaussiana es intrínseca. Un ser de una esfera, con sólo su métrica, podía ver su mundo estaba "curvas" por la búsqueda de un triángulo cuyos ángulos interiores suman más de 180.