$\lim\limits_{n \to\infty}x_n-x_{n+1}=0$ , $x_{n_k}$ converge pero $x_n$ no converge

Question

Esta es una pregunta de tarea de contraejemplo que no puedo resolver.

Necesito encontrar una secuencia de números reales $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ y una secuencia monótona creciente de números naturales $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ tal que: $(i)\lim\limits_{n\to\infty}(x_n-x_{n+1})=0$ , $(ii)(x_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ converge, pero $(iii)(x_n)_{n=1}^{\infty}$ no convergen.

Lo único que sé hasta ahora es que para todos $k$ , $[n_{k+1}-n_k]$ no puede ser acotado.

Answer 1

Sugerencia: considere la secuencia $0\,,{1\over2}\,,1\,,{2\over3}\,,{1\over3}\,,0,\,{1\over4}\,,{2\over4}\,,{3\over4}\,,1\,,{4\over5}\,,{3\over5}\,,{2\over5}\,,{1\over5}\,,0\,,{1\over6}\,,\ldots$ .

Answer 2

A veces lo más fácil es optar por el contraejemplo más descarado que se pueda. Así que decida que tendrá $x_{n_k}=0$ para todos $k$ y $x_n=1$ para algunos $n$ entre cada conjunto de $x_{n_k}$ y $x_{n_{k+1}}$ .

Esto requiere una secuencia que suba de 0 a 1 y vuelva a bajar a 0 y a subir de nuevo infinitas veces. Al final debe hacerlo cada vez más lento debido a la condición sobre la diferencia sucesiva, pero puedes decidir lo lento o rápido que van las diferencias a 0.

Por ejemplo, decida que $|x_n-x_{n+1}|$ debe ser $1/k$ siempre que $n$ está entre $n_k$ y $n_{k+1}$ ...