Puedo probar que la divergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ el uso de esta técnica?

Question

Cuando veo la respuesta al problema. Cómo comprobar la convergencia de la serie cuyos elementos son tomadas desde el set $A$?

Una pregunta que surge en mi mente, puedo probar a $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ diverge utilizando la siguiente técnica?

Por el Primer teorema de la descomposición, $n=2^{j_1}3^{j_2}...$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\sum_{j_1=1,j_2=0,...}^{\infty}\frac{1}{2^{j_1}3^{j_2}...}=\sum_{j_1=0}^{\infty}\frac{1}{2^{j_1}}\sum_{j_2=0}^{\infty}\frac{1}{3^{j_2}}...=\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...$$

Puedo juez el uso de la técnica anterior? ¿De dónde me salen mal?. Por favor me ayude.

Answer 1

Un interesante comentario es que debido a Euler del producto

$$ \forall s>1,\qquad \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}=\prod_{p\in\mathcal{P}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1} $$

se nos permite el estado:

Desde que la serie armónica es divergente, hay infinitos números primos.

Por supuesto, usted puede también el estado de

Ya que hay infinitos números primos y su secuencia no crecer demasiado rápido, la serie armónica es divergente

y demostrar a través de medios elementales que $\pi(n)\geq \frac{n\log 2}{2\log n}$, pero esto es bombardear a los mosquitos.
La reivindicación anterior también puede expresarse como

Desde $\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}$ es divergente, $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}$ es divergente así.