Ok, creo que puedo ver esto ahora. El punto es que la inclusión de un cofinal subcomplejo es estable homotopy de equivalencia. Esto me parece tan raro: por Whitehead del teorema de espectros, la cofinal subcomplejo de inclusión debe tener un homotopy inversa. Lo que en la tierra a qué se parece?
De todos modos, he aquí un argumento. Un cofinal subcomplejo es $X'\subseteq X$ tal que para cada celda $e^d \subseteq X_n$ existe $k$ tal que $\Sigma^k e^d$ está asignado a $X'_{n+k}$ por el canónica compuesto de (suspensiones de) la estructura de los mapas de $\Sigma^k X_n \to X_{n+k}$. Queremos mostrar que para cada $i$, $X'\subseteq X$ induce un isomorfismo $\pi_i(X') = \varinjlim_n \pi_{i+n}(X_n) \to \pi_i(X) = \varinjlim_n \pi_{i+n}(X)$.
Para mostrar este mapa es surjective, escoger un elemento de $[\phi] \in \pi_i(X)$. Es representada en el mapa de $\phi: S^{i+n} \to X_n$, lo que nos puede llevar a ser la de un celular. Por compacidad, hay un número finito de células en la imagen de $\phi$, así que por cofinality existe un $k$ tal que $k$-pliegue de la suspensión de cada una de estas células es en $X'_{n+k}$. Por lo tanto la imagen de la $\Sigma^k \phi$ está asignado a $X'_{n+k}$, e $\Sigma^k\phi \in \pi_{i+k}(X_{n+k})$ representa una preimagen de $[\phi]$$\pi_i(X)$.
El argumento para la inyectividad es similar, donde el papel de la $\phi$ es reemplazado por un nullhomotopy de un mapa de una esfera, es decir, un mapa de $D^{i+1+n} \to X_n$.
