Los triángulos rectángulos con el entero lados

Question

La mayoría de ustedes saben de estas tripletas:

$3: 4 :5$

$5: 12 :13$

$8: 15 :17$

$7: 24 :25$

$9: 40 :41$

Más generalmente se puede construir triángulos semejantes, tales como $$2x:x^2-1:x^2+1$$

Mi pregunta es ¿por qué uno de los lados parece ser siempre el primer? (Cuando no hay ningún divisor común)

Answer 1

Es genial que usted está interesado y buscando patrones, así que no te desanimes. Como uno de mis maestros le gusta decir,

Si todos tus conjeturas son ciertas, que no se esforzaba lo suficiente.

Así que, aquí están los diez primeros contraejemplos:

$$\begin{array}{c|c} x& 2x:x^2-1:x^2+1\strut\\\hline 8 & 16:63: 65\strut\\ 12 & 24:143: 145\strut\\ 18& 36:323: 325\strut\\ 22& 44: 483: 485\strut\\ 28& 56: 783: 785\strut\\ 30& 60: 899: 901\strut\\ 32& 64: 1023: 1025\strut\\ 34& 68: 1155: 1157\strut\\ 38& 76: 1443: 1445\strut\\ 42& 84: 1763: 1765 \end{array}$$

---

Mathematica código:

listofcounterexamples = {};
[X = 1, x < 100, x++, 
 Si[Longitud[listofcounterexamples] == 10, Break[]];
 Si[MCD[2x, x^2-1, x^2+1] == 1 && No[PrimeQ[x^2+1]], 
 AppendTo[listofcounterexamples, {x, 2x, x^2-1, x^2+1}]]]; 
listofcounterexamples

Answer 2

El modelo que ves (un lado tener siempre el primer longitud) falla por mayor $x$ y es un buen ejemplo de la fuerte ley de los pequeños números. Considere, por ejemplo, $x=12$.

Answer 3

Voy a añadir un comentario sobre el por qué de su afirmación es probablemente falsa, incluso antes de encontrar cualquier contraejemplos. Su fórmula $$ 2x : x^2 - 1 : x^2 + 1 $$

debería ser una bandera roja. $2x$ nunca es primordial para $x > 1$ porque es divisible por 2, y $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$ nunca es primordial para $x > 2$ porque los factores. Así que tu afirmación parece dudoso que desde el principio, sólo $x^2 + 1$ aún tiene una oportunidad de ser el primer.