$PA^2\sin A+PB^2\sin B+PC^2\sin C$ es mínimo si P es el incentro.

Question

Dejemos que $ABC$ sea un triángulo y $P$ es un punto en el plano del triángulo $ABC$ Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados $BC,CA,AB$ opuesto a los ángulos $A,B,C$ respectivamente, entonces demuestre que

1. $PA^2\sin A+PB^2\sin B+PC^2\sin C$ es mínimo si P es el incentro.

2. $PA^2\tan A+PB^2\tan B+PC^2\tan C$ es mínimo si P es el ortocentro.

3. $PA^2+PB^2+PC^2$ es mínimo si P es el centroide.

4. $PA^2\sin 2A+PB^2\sin 2B+PC^2\sin 2C$ es mínimo si P es el circuncentro.

¿Cómo tengo que formular esta expresión en una forma que es diferenciable wrt una sola variable o hay algún enfoque oculto diferente se utilizará aquí.Por favor, guíame, ¿cómo debo resolver esta pregunta?

Answer 1

Utilicemos lo siguiente :

Para un punto $P$ dentro de $\triangle{ABC}$ , $$\vec{OP}=\frac{[\triangle{PBC}]\cdot\vec{OA}+[\triangle{PCA}]\cdot\vec{OB}+[\triangle{PAB}]\cdot\vec{OC}}{[\triangle{ABC}]}\tag 1$$ donde $[\triangle{PBC}]$ es el área de $\triangle{PBC}$ .

Prueba :

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

Desde $$\vec{OA'}=\frac{A'C\cdot \vec{OB}+BA'\cdot\vec{OC}}{A'C+BA'}=\frac{[\triangle{PCA}]\cdot\vec{OB}+[\triangle{PAB}]\cdot\vec{OC}}{[\triangle{PCA}]+[\triangle{PAB}]},$$ tenemos $$\begin{align}\vec{OP}&=\frac{PA'\cdot\vec{OA}+AP\cdot\vec{OA'}}{PA'+AP}\\&=\frac{[\triangle{PBC}]\cdot\vec{OA}+([\triangle{PAB}]+[\triangle{PCA}])\cdot\vec{OA'}}{[\triangle{PBC}]+([\triangle{PAB}]+[\triangle{PCA}])}\\&=\frac{[\triangle{PBC}]\cdot\vec{OA}+[\triangle{PCA}]\cdot\vec{OB}+[\triangle{PAB}]\cdot\vec{OC}}{[\triangle{PBC}]+[\triangle{PCA}]+[\triangle{PAB}]}\\&=\frac{[\triangle{PBC}]\cdot\vec{OA}+[\triangle{PCA}]\cdot\vec{OB}+[\triangle{PAB}]\cdot\vec{OC}}{[\triangle{ABC}]}\end{align}$$ (Por cierto, $(1)$ se mantiene para cualquier punto $P$ si definimos el área de un triángulo "volteado" como negativa).

Para 1.

Dejemos que $I$ sea el incentro.

Desde $[\triangle{IBC}]:[\triangle{ICA}]:[\triangle{IAB}]=a:b:c$ por la ley de los senos, tenemos

$$\begin{align}\vec{PI}&=\frac{a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}}{a+b+c}\\&=\frac{R\sin A\vec{PA}+R\sin B\vec{PB}+R\sin C\vec{PC}}{R\sin A+R\sin B+R\sin C}\\&=\frac{\sin A\vec{PA}+\sin B\vec{PB}+\sin C\vec{PC}}{\sin A+\sin B+\sin C}\end{align}$$ donde $R$ es el circunradio de $\triangle{ABC}$ .

Por lo tanto, el establecimiento de $k=\sin A+\sin B+\sin C$ da $$\vec{PI}=\frac{\sin A\vec{PA}+\sin B(\vec{AB}-\vec{AP})+\sin C(\vec{AC}-\vec{AP})}{k}=\frac{k\vec{PA}+\sin B\vec{AB}+\sin C\vec{AC}}{k}$$ $$\Rightarrow \vec{PA}=\vec{PI}-\frac{\sin B}{k}\vec{AB}-\frac{\sin C}{k}\vec{AC}.$$

Del mismo modo, tenemos $$\vec{PB}=\vec{PI}-\frac{\sin A}{k}\vec{BA}-\frac{\sin C}{k}\vec{BC},\quad\vec{PC}=\vec{PI}-\frac{\sin B}{k}\vec{CB}-\frac{\sin A}{k}\vec{CA}.$$

Así que, $$\small\begin{align}&PA^2\sin A+PB^2\sin B+PC^2\sin C\\&=\left(\vec{PI}-\frac{\sin B}{k}\vec{AB}-\frac{\sin C}{k}\vec{AC}\right)^2\sin A+\left(\vec{PI}-\frac{\sin A}{k}\vec{BA}-\frac{\sin C}{k}\vec{BC}\right)^2\sin B+\left(\vec{PI}-\frac{\sin B}{k}\vec{CB}-\frac{\sin A}{k}\vec{CA}\right)^2\sin C\\&=kPI^2+\left(-2\sin A\sin B(\vec{AB}+\vec{BA})-2\sin B\sin C(\vec{BC}+\vec{CB})-2\sin C\sin A(\vec{AC}+\vec{CA})\right)\cdot\frac{\vec{PI}}{k}+s\\&=(\sin A+\sin B+\sin C)PI^2+s\end{align}$$ donde $s$ es una constante independiente de $P$ .

Así que, $PA^2\sin A+PB^2\sin B+PC^2\sin C$ es mínimo si $P=I$ .

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Para 2.

Dejemos que $H$ sea el ortocentro.

Desde $[\triangle{HCA}]:[\triangle{HAB}]=A'C:BA'=\frac{AA'}{\tan C}:\frac{AA'}{\tan B}=\tan B:\tan C$ donde $A'$ está en el lado $BC$ tal que $AA'$ es perpendicular a $BC$ tenemos $$[\triangle{HBC}]:[\triangle{HCA}]:[\triangle{HAB}]=\tan A:\tan B:\tan C.$$

Así que, $$\vec{PH}=\frac{\tan A\vec{PA}+\tan B\vec{PB}+\tan C\vec{PC}}{\tan A+\tan B+\tan C}.$$

Por un argumento similar al de la primera, podemos tener $$PA^2\tan A+PB^2\tan B+PC^2\tan C=(\tan A+\tan B+\tan C)PH^2+t$$ donde $t$ es una constante independiente de $P$ .

Así, $PA^2\tan A+PB^2\tan B+PC^2\tan C$ es mínimo si $P=H$ .

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Para 3.

Dejemos que $G$ sea el centroide.

Tenemos $$\vec{PG}=\frac{\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}}{3}.$$

Así que, $$\vec{PA}=\vec{PG}-\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3},\quad\vec{PB}=\vec{PG}-\frac{\vec{BA}+\vec{BC}}{3},\quad\vec{PC}=\vec{PG}-\frac{\vec{CB}+\vec{CA}}{3}.$$

Por lo tanto, tenemos $$\begin{align}&PA^2+PB^2+PC^2\\&=\left(\vec{PG}-\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{3}\right)^2+\left(\vec{PG}-\frac{\vec{BA}+\vec{BC}}{3}\right)^2+\left(\vec{PG}-\frac{\vec{CB}+\vec{CA}}{3}\right)^2\\&=3PG^2+u\end{align}$$ donde $u$ es una constante independiente de $P$ .

Así, $PA^2+PB^2+PC^2$ es mínimo si $P=G$ .

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Para 4.

Dejemos que $O$ ser el circuncentro.

Desde $$\begin{align}[\triangle{OBC}]:[\triangle{OCA}]:[\triangle{OAB}]&=\frac{R^2\sin(2A)}{2}:\frac{R^2\sin(2B)}{2}:\frac{R^2\sin(2C)}{2}\\&=\sin(2A):\sin(2B):\sin(2C),\end{align}$$ tenemos $$\vec{PO}=\frac{\sin(2A)\vec{PA}+\sin(2B)\vec{PB}+\sin(2C)\vec{PC}}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}.$$

Por un argumento similar al de la primera, tenemos $$PA^2\sin(2A)+PB^2\sin(2B)+PC^2\sin(2C)=(\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C))PO^2+v$$ donde $v$ es una constante independiente de $P$ .

Así, $PA^2\sin(2A)+PB^2\sin(2B)+PC^2\sin(2C)$ es mínimo si $P=O$ .

Answer 2

Para 1, dejemos que $X,Y,Z$ sean las proyecciones de $P$ en los lados del triángulo $ABC$ . Nótese que por la ley de los senos extendida, $YZ=AP\sin A$ etc. Por lo tanto, nuestra expresión $$ AP^2\sin A+BP^2\sin B+CP^2\sin C=AP\cdot YZ+BP\cdot ZX+CP\cdot XY\ge 2[AYPZ]+2[BZPX]+2[CXPY]=2[ABC] $$ con igualdad cuando $P$ es el incentro, ya que entonces $AP\perp YZ$ etc.

Answer 3

La tercera parte se trivializa con la siguiente identidad $$PA^2+PB^2+PC^2=PG^2+AG^2+BG^2+CG^2$$ donde G es el centroide.