A mi pesar, a la vieja usanza terminologías que están por todo el lugar en matemáticas y todavía nos impida utilizar el beneficio universal de (la profunda idea de la categoría de la teoría, por ejemplo, la unificación de las diversas nociones dispersas en matemáticas. Así que permítanme responder a lo $A \times B$ $A \oplus B$ debe indicar (aunque la mayoría de los libros no han adoptado todavía).
En cualquier categoría, $\times$ denota el producto, y $\oplus$ o $\sqcup$ denota el subproducto. Incluso en la categoría de $K$-módulos, que son no de la misma. Sólo los objetos subyacentes son los mismos. (Co)del producto es más que un objeto, es un especial (co)límite (co)del cono. Por lo tanto, un producto viene equipado con proyecciones, y un subproducto viene equipado con inclusiones. Por supuesto, hay esta costumbre abuso de notación. Pero en este caso, en mi opinión, es importante darse cuenta de que (incluso los objetos subyacentes) $A \times B$ $A \oplus B$ realmente tiene un sabor diferente, y que realmente es una coincidencia que están de acuerdo. En lugar de estar sorprendido de que no está de acuerdo, por ejemplo, grupos, uno debe estar sorprendido de que están de acuerdo para abelian grupos. Por desgracia, la literatura actual y cursos para principiantes no lo admiten. La única razón por la que uno puede escribir $A \times B = A \oplus B$ segura es que no es un canónica de isomorfismo entre los objetos subyacentes, y de hecho existe la noción de un biproduct que los fusibles de producto y subproducto en lineal arbitraria de las categorías.
Ahora vamos a $k$ ser un anillo conmutativo. Para mí, anillos son siempre unital, a menos que se especifique lo contrario. El producto en la categoría de $k$-álgebras, como siempre: Nos acaba de tomar el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, y luego declarar la adición, la multiplicación escalar, la multiplicación y la unidad de pointwise. Esto funciona para todos los algebraicas categoría. Así, los elementos de $A \times B$ son fáciles de entender y fáciles de manipular. El subproducto $A \oplus B$ es más complicado. El subyacente $k$-módulo de algunos cociente de $k \oplus A \oplus B \oplus A \otimes_k B \oplus B \otimes_k A \oplus A \otimes_k A \otimes_k B \oplus \dotsc$, donde tenemos básicamente identificar a $x$$x \otimes 1$$1 \otimes x$. La multiplicación se define de una manera obvia. Por supuesto, en la categoría de conmutativa $k$-álgebras de esta forma se simplifica mucho, es decir, se le puede reducir a $A \otimes_k B$.
Muchas personas todavía escribir $A \oplus B$ de lo que debe ser indicado por $A \times B$, debido a que los elementos de $A \times B$ puede ser escrito como $(a,0) + (0,b)$ y no hay ningún daño en identifiying $(a,0)$ $a$ etc. Pero mientras tanto, se debe ser bien conocido que los morfismos son tan importantes como los elementos, en el contexto universal de construcciones, incluso mucho más importante que la de los elementos, y lo que es más importante que pasa por alto el hecho de que $a \mapsto (a,0)$ es no un homomorphism de álgebras, ya que no preservar la unidad. Así que esta construcción usualmente denotado por $A \oplus B$ que en realidad tiene lugar en la categoría de no-unital $k$-álgebras:
Vamos más general, $(A_i)_{i \in I}$ ser una familia de no unital $k$-álgebras. Como un $k$-módulo, su subproducto $\oplus_{i \in I} A_i$ es de nuevo una gran suma directa de tensor de productos (por ejemplo,$A \oplus B = A \oplus B \oplus A \otimes_k B \oplus B \otimes_k A \oplus \dotsc$, con una multiplicación adecuada). Pero muchas personas se denotan por $\oplus_{i \in I} A_i$ el subalgebra $C$ $\prod_{i \in I} A_i$ consta de las tuplas con finito de apoyo (véase Frank McGovern respuesta). Pero esto no es un subproducto y por lo tanto me resulta confuso para denotar como tal, contradiciendo el uso habitual de este símbolo (voy a sugerir un nuevo símbolo de abajo). Sin embargo, tiene una interesante característica universal. En cierto sentido, es el universal subproducto con el requisito adicional de que $A_i \cdot A_j = 0$$i \neq j$. Más precisamente, hay inclusiones $A_i \to C$ tal que $A_i \otimes_k A_j \to C$ es cero para $i \neq j$, y para cada familia de homomorphisms de no unital $k$-álgebras $A_i \to B$ tal que $A_i \otimes_k A_j \to B$ es cero para $i \neq j$, hay un homomorphism $C \to B$ haciendo lo obvio diagramas conmutan. A veces, elementos $x,y$ de un anillo con $xy=0$ se llaman ortogonales (motivado por el caso de las proyecciones en el espacio). Por lo tanto, que yo llamaría $C$ el ortogonal subproducto y se denota por a $\oplus_{i \in I}^{\perp} A_i$. ¿Qué te parece?
Ver aquí para una muy similar de construcción para grupos.
La notación debe ser coherente y trabajo para todas las categorías. Sólo se vuelve confuso cuando para las diferentes categorías de la notación diferente.
Edit: Sorprendentemente, mi punto de vista también aparece en la Wikipedia: suma Directa de los anillos
