Encuentra los puntos límite de $A = \{ (x,y) \in\mathbb{R}^2,|\,xy = 1 \} \subset\mathbb{R}^2$

Question

Encuentra los puntos límite de $A = \{ (x,y) \in\mathbb{R}^2\,|\, xy = 1 \} \subset \mathbb{R}^2$ Necesito encontrar $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tal que $V_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$ . No sé cómo empezar. Gracias de antemano.

Answer 1

En caso de que no esté familiarizado con el concepto de continuidad:

Si graficas la función $y=1/x,$ se observará que el conjunto de todos los puntos límite de $A$ es de hecho $A$ (siempre que un conjunto cerrado $E$ es igual al conjunto de todos sus puntos límite, $E$ se llama _perfecto_ conjunto).
Demostraremos que $A$ es perfecto.

$A$ está cerrado.

Dejemos que $(x,y)$ sea un punto arbitrario de $\mathbb R^2\setminus A.$ Entonces $xy>1$ o $xy<1.$

Caso I. $xy>1.$ Desde $\mathbb N$ no está acotado desde arriba, hay algún tipo de $n$ tal que $n>1/(xy-1)\;\iff\;xy>1+(1/n).$ Ahora defina $\delta:=\min\left\{1,\dfrac{1}{n(1+|x|+|y|)}\right\}.$ Si $(z,w)$ es cualquier punto del balón abierto $B_{\delta}((x,y))$ entonces $$\begin{aligned} |xy-zw|&=|x(w-y)+(z-x)(w-y)+y(z-x)|\\\\&\leqslant|x||w-y|+|z-x||w-y|+|y||z-x|\\\\&\leqslant|x|\|(z-x,w-y)\|+ \|(z-x,w-y)\|^2+|y| \|(z-x,w-y)\|\\\\&< |x|\delta+\delta^2+|y|\delta\\\\&=(|x|+\delta+|y|)\delta\\\\&\leqslant(|x|+1+|y|)\delta\\\\&\leqslant(|x|+1+|y|)\dfrac{1}{n(|x|+|y|+1)}\\\\&=\dfrac{1}{n} \end{aligned}$$ y por lo tanto $|xy-zw|<1/n.$ Desde $xy-zw\leqslant|xy-zw|$ entonces $xy<zw+1/n$ y como $1+1/n<xy$ entonces $1+1/n<zw+1/n,$ lo que implica que $1<zw$ y se deduce que $(z,w)\in\mathbb R^2\setminus A.$ Por lo tanto, ningún punto del balón abierto $B_{\delta}((x,y))$ es un punto de $A.$

Caso II. $xy<1.$ Se procede como en el primer caso (con un ligero cambio en el argumento).

Concluimos que cada punto de $\mathbb R^2\setminus A$ es un punto interior de $\mathbb R^2\setminus A,$ lo que significa que $\mathbb R^2\setminus A$ es abierto y por lo tanto $A$ está cerrado.

Cada punto de $A$ es un punto límite de $A.$

Dejemos que $(x,1/x)$ sea cualquier punto de $A,$ con $x>0$ (se puede adaptar el argumento para el caso $x<0$ ), elija $\delta$ tal que $0<\delta<\sqrt{2}x$ y poner $\varepsilon:=\min\left\{\dfrac{\delta}{\sqrt2},\;\dfrac{x(x-\delta/\sqrt2)}{\sqrt2}\right\}.$ De ello se deduce que si $0<|y-x|<\varepsilon$ entonces $$\begin{aligned} \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|&=\dfrac{|x-y|}{|x||y|}\\\\&<\dfrac{\varepsilon}{|x||y|}\\\\&\leqslant\dfrac{x(x-\delta/\sqrt2)\delta}{xy\sqrt2}\\\\&<\dfrac{\delta}{\sqrt2} \end{aligned}$$ y por lo tanto el punto $(y,1/y)$ está en el balón abierto $B_{\delta}((x,1/x))$ y como $(x,1/x)\neq(y,1/y)$ concluimos que $(x,1/x)$ es un punto límite de $A$ y como $(x,1/x)$ era arbitraria, concluimos que cada punto de $A$ es un punto límite de $A.$

Por lo tanto, el conjunto de todos los puntos límite de $A$ es $A.$

Answer 2

El mapa $(x,y) \mapsto xy$ es continua y $A$ que es la imagen inversa del conjunto cerrado $\{1\}$ está cerrado.

Por lo tanto, $A$ contiene todos sus puntos límite. Como todos los puntos de $A$ son también un punto límite de $A$ Finalmente, el conjunto de puntos límite de $A$ es $A$ sí mismo.