Permita que$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función tal que existan derivadas parciales con respecto a$x$ y$y$ y una de ellas sea continua. Demuestre que$f$ es diferenciable.
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Jim Petkus
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En resumen: el problema se reduce al caso fácil al $f$ depende únicamente de una variable. Ver el cuadro de color grisáceo por debajo de la fórmula que hace la reducción.
Esto es suficiente para mostrar que $f$ es diferenciable en a $(0,0)$ con la suposición de que $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Primero pasar de $(x_0,y_0)$ $(0,0)$teniendo en cuenta la función de $g(x,y)=f(x+x_0,y+y_0)$. A continuación, trabajar en $h(x,y)=g(x,y)-x\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)-y\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.
Así que vamos a suponer suponer que $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe y es continua en a $\mathbb{R}^2$ (sólo la continuidad en un abrir barrio de $(0,0)$ es realmente necesario para el local argumento), que $\frac{\partial f}{\partial y}$ existe en$(0,0)$,$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Tenemos que mostrar que $f$ es diferenciable en a $(0,0)$. Tenga en cuenta que la derivada debe ser $0$ dados nuestros supuestos.
Ahora observe que para cada $x,y$, tenemos, por el teorema fundamental del cálculo:
$$ f(x,y)=f(0,y)+\int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(s,y)ds. $$
Yo te permiten verificar correctamente que $(x,y)\longmapsto f(0,y)$ es diferenciable en a $(0,0)$ con cero la derivada, utilizando sólo $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Para el otro término, sólo tenga en cuenta que es $0$ $(0,0)$ y que por cada $0<\sqrt{x^2+y^2}\leq r$ $$ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big|\int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(s,y)ds\Big|\leq \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\sup_{0\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq r}\Big| \frac{\partial f}{\partial x}(s,t)\Big|\leq \sup_{0\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq r}\Big| \frac{\partial f}{\partial x}(s,t)\Big|. $$ Por la continuidad de $\frac{\partial f}{\partial x}$$(0,0)$, el lado derecho tiende a $0$ al $(x,y)$ tiende a $(0,0)$. Esto demuestra que la función de $(x,y)\longmapsto \int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(s,y)ds$ es diferenciable en a $(0,0)$ con cero de la derivada. Y esto concluye la prueba.
