Fórmula de inversión de transformada de Fourier para$f\in L_1(\mathbb{R}^n)$ y condición Dini

Question

Vamos a definir la Dini condición para una función $f\in L_1(-\infty,\infty)$, es decir, Lebesgue summable en $\mathbb{R}$, como

Dado un $x\in\mathbb{R}$ no es un porcentaje ($\delta>0$de manera tal que la integral de Lebesgue $\int_{[-\delta,\delta]}|\frac{f(x+t)-f(x)}{t}|d\mu_t$ existe.

En todos los post de las integrales deben entenderse como integrales de Lebesgue. Sé (p. 423, aquí, de la prueba de Kolmogorov-Fomin del Элементы теории функций и функционального анализа) que, si $f\in L_1(-\infty,\infty)$ satisface la Dini condición en la $x\in\mathbb{R}$, entonces la inversión de la fórmula de la transformada de Fourier se tiene: $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\lim_{N\to+\infty}\int_{[-N,N]}\Bigg(\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-i\lambda t)}d\mu_t\Bigg)e^{i\lambda x} d\mu_\lambda.$$

El mismo famoso texto de prueba (p. 437-438) similar teorema para funciones de $f\in L_1(\mathbb{R}^n)$, bajo condiciones que no se me entiende perfectamente, manifestó de la siguiente manera:

Deje que la función $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ne integrable en todo el espacio $\mathbb{R}^n$ y deje que se cumplan las condiciones: $$|f(x_1+t_1,x_2,\ldots,x_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n)|\leq C|t_1|^a,$$ $$|f(x_1,x_2+t_2,\ldots,x_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n)|\leq C(x_1)|t_2|^a,$$$$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$$$|f(x_1,x_2,\ldots,x_n+t_n)-f(x_1,x_2,\ldots,x_n)|\leq C(x_1,x_2,\ldots,x_{n- > 1})|t_n|^a,$$where $0\le a\le1,\quad\int_{\mathbb{R}}C(x_1)d\mu_{x_1}<\infty,\ldots,\quad\int_{\mathbb{R}}\ldots\int_{\mathbb{R}}C(x_1,\ldots,x_{n-1})d\mu_{x_1}\ldots d\mu_{x_{n-1}}<\infty.$ Entonces $$(2\pi)^nf(x_1,x_2,\ldots x_n)=$$$$=\lim_{N_1\to\infty}\int_{-N_1}^{N_1}\Big(\ldots\lim_{N_{n-1}\to\infty}\int_{-N_{n-1}}^{N_{n-1}}\Big(\lim_{N_n\to\infty}\int_{-N_n}^{N_n}g(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)e^{ix_n\lambda_n }d\mu_{\lambda_n}\Big)e^{ix_{n-1}\lambda_{n-1}}d\mu_{\lambda_{n-1}}...\ldots\Big)e^{ix_1\lambda_1}d\mu_{\lambda_1} $$

donde las integrales son Lebesgue integrales y $g(\lambda_1,\ldots,\lambda_n):=\int_{\mathbb{R}}\ldots\int_{\mathbb{R}}f(x_1,\ldots,x_n)e^{-i\sum_{k=1}^nx_k\lambda_k}d\mu_{x_1}\ldots d\mu_{x_n}$.

El teorema es, precisamente, declaró de esta manera en el libro (sólo he cambiado un poco la notación para mostrar claramente las integrales son integrales de Lebesgue), pero no estoy seguro de entender lo que se $a$ e las $t_k$ en esta redacción. ¿Alguien se pasa por conocer el teorema y lo que las desigualdades decir: se debe mantener para algunos $a\in[0,1]$ o para todos los $a\in[0,1]$? En cuanto a la $t_k$, $k=1,\ldots ,n$ se debe satisfacer la desigualdad para algunos $\delta>0$ tal que $t_1,\ldots,t_n\le\delta$?

La prueba parece usar el hecho de que la función de $f(-,x_2,\ldots ,x_n)$ como una función de la $x_1$ satisface los definidos anteriormente, Dini condición: ¿? ¿Por qué podemos ver? En particular, no estoy convencido de que $a=0$ puede garantizar la Dini condición ($\int_{0}^1 x^{-1}dx=+\infty$).

Creo que mi mayor problema es que no entiendo las condiciones del teorema de la declaración... muchas Gracias por la explicación!

Answer 1

La de Riemann-Lebesgue lema establece que, para cualquier $f \in L^{1}(\mathbb{R})$, $$ \lim_{R\rightarrow\pm\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iRt}\,dt = 0. $$ Esto se convierte en la base para un montón de básica pointwise teoremas de convergencia. Si $\mathcal{F}$ denota la transformada de Fourier en $\mathbb{R}$, e $\mathcal{F}^{-1}$ su inversa la transformación, $$ \mathcal{F}^{-1}(\chi_{[-R,R]}\mathcal{F}f)|_{x}-L=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(t)-L}{t-x}\sin(R(t-x))\,dt. $$ La función de $\frac{f(t)-L}{t-x}$ es absolutamente integrable para $t \in (-\infty,x-\delta]\cup[x+\delta,\infty)$ siempre $\delta > 0$. Si también es integrable en a $[x-\delta,x+\delta]$, luego la de Riemann-Lebesgue lema da $$ L = \lim_{R\rightarrow\infty}\mathcal{F}^{-1}(\chi_{[-R,R]}\mathcal{F}f)|_{x}. $$ La Dini condición no es más que la suposición adicional necesaria para garantizar que $f \in L^{1}$ o $f\in L^{2}$ da lugar a una función de $\frac{f(t)-L}{t-x}$, lo que es absolutamente integrable en $t$ fijos $x$ donde $L=f(x)$. Una forma de garantizar esta condición está asumiendo $f$ $\alpha$- Titular continua en $x$ con exponente $\alpha \in (0,1]$: $$ |f(t)-f(x)| \le la C|t-x|^{\alpha}. $$ Esta condición es suficiente para que los Dini condición para sostener, pero no es necesario, pero el Titular de la continuidad es conveniente, especialmente para los espacios de Sobolev.

Las condiciones establecidas en el teorema permiten evaluar el pleno de la inversa de la transformada de Fourier en $\mathbb{R}^{n}$ evaluando con las integrales iteradas. Es por eso que las condiciones son "escalonada" en algún sentido. Pero está configurado de modo que la inversión de la integral se puede evaluar mediante integrales iteradas y límites. Es decir, si $B_{N}$ es el cuadro en $\mathbb{R}^{n}$ descrito por $\{ x : |x_{k}| \le N_{k},\; 1 \le k \le n\}$, luego $$ \mathcal{F}^{-1}(\chi_{B_{N}}(x)\mathcal{F}f) = \mathcal{F_{n}}^{-1}\chi_{[-N_n,N_n]}\mathcal{F_{n-1}}^{-1}\chi_{[-N_{n-1},N_{n-1}]}\cdots \mathcal{F_{1}}^{-1}\chi_{[-N_1,N_1]}\mathcal{F}f, $$ donde $\mathcal{F_{k}}^{-1}$ es la inversa de la transformada de Fourier en el $k$-ésima coordenada de variable única.

Sabiendo que la inversión de la integral existe en todo el espacio permite evaluar por iterada límites, y la imponen condiciones que permiten mover los límites dentro de los transforma a la ubicación en la que se puede evaluar mediante la Riemann-Lebesgue/Dini procedimiento descrito anteriormente para una única variable, de una en una.