Cualquier función$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que sea monótona es mensurable. ¿Hasta dónde se generaliza?
¿Es mensurable una función monótona$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$? ¿Una función de un espacio métrico totalmente ordenado a otro?
Respuestas
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Did
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La respuesta es "No", tan pronto como $n\geqslant2$.
Para un contraejemplo, considere la posibilidad de no medibles $S\subset\mathbb R$ y el conjunto de $A\subset\mathbb R^n$ de los puntos de $(x_k)_k$ tales que (i) $x_1+x_2\gt0$, o (ii) $x_1+x_2=0$$x_1$$S$.
A continuación, $A$ no es mensurable. (Si $A$ era mensurable, su intersección $A\cap L$ con la línea de $L$ de las ecuaciones de $x_1+x_2=0$ $x_k=0$ por cada $k\geqslant3$, podría ser medibles, así como la preimagen de $A\cap L$ por el mapa continuo $g:x\mapsto (x,-x,0,\ldots,0)$. Pero $g^{-1}(A\cap L)=S$.)
Ahora, $f=\mathbf 1_A$ es una función no decreciente que no es medible desde el set $f^{-1}(\{1\})=A$ no es mensurable.
Una monotonía de la función $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es Lebesgue medible.
(Aquí, equipamos a $\mathbb{R}^n$ con el orden parcial $\le$ donde $(x_1, \dots, x_n) \le (y_1, \dots, y_n)$ fib $x_i \le y_1$ por cada $i$. Una función de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es monótona con respecto a este orden parcial iff es monotono en cada coordenada, que es el OP de la definición).
Prueba. Procedemos por inducción sobre $n$. El $n=0$ caso es trivial (y $n=1$ es bien conocido). Supongamos, entonces, que cada monotonía de la función $\mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$ es Lebesgue medible. Deje $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser monótona creciente. Fix $y \in \mathbb{R}$; vamos a demostrar que $f^{-1}([y, \infty))$ es Lebesgue medible subconjunto de $\mathbb{R}^n$.
Definir $g : \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$ por $$g(x) = \inf\{t \in \mathbb{R} : f(x,t) \ge y\}.$$ Puedo reclamar $g$ es monótona decreciente. Supongamos $x \le x' \in \mathbb{R}^{n-1}$. Si $f(x, t) \ge y$ también $f(x', t) \ge y$, por lo tanto el infimum para $g(x)$ se lleva a cabo sobre un conjunto más pequeño que el de $g(x')$, y por lo $g(x) \ge g(x')$. Por lo tanto, por la hipótesis de inducción, $g$ es Lebesgue medible.
Ahora observamos que si $t > g(x)$$f(x,t) \ge y$, y si $t < g(x)$$f(x,t) < y$. Así que si ponemos $$A_1 = \{(x,t) : g(x) < t\}, \quad A_2 = \{(x,t) : g(x) \le t\}$$ entonces tenemos $$A_1 \subset f^{-1}([y, \infty)) \subset A_2.$$ Ahora $A_1, A_2$ son Lebesgue medible: si establecemos $G(x,t) = g(x) - t$ $G$ es Lebesgue medible y $A_1 = G^{-1}((-\infty, 0))$, $A_2 = G^{-1}((-\infty, 0])$. Por otro lado, $A_0 = A_2 \backslash A_1 = \{(x,t) : g(x) = t\}$ es sólo la gráfica de $g$, y se deduce a partir del teorema de Tonelli que $m(A_0) = 0$, desde $$m(A_0) = \int_{\mathbb{R}^{n-1}} \int_\mathbb{R} 1_{A_0}(x,t)\,dt\,dx = \int_{\mathbb{R}^{n-1}} m(\{g(x)\})\,dx = 0.$$ Así, cada subconjunto de $A_0$ es Lebesgue medible, y ya tenemos $f^{-1}([y, \infty)) = A_2 \cup (A_0 \cap f^{-1}([y, \infty)))$ hemos terminado.
Me encontró por primera vez esta pregunta (en una forma ligeramente diferente) como un ejercicio de Geoffrey Grimmett de la Probabilidad en los Gráficos, donde aparece como el Ejercicio 4.10. Él da una referencia a
cuando la declaración aparece como Teorema 4.4, con una prueba muy similar a la mía.
La generalización de este más podría ser complicado. Quizás me gustaría restringir mi atención a polaco espacios con Borel total de órdenes, y pedir alguna pregunta acerca de la definability de la monotonía de las funciones. Pero esa sería una pregunta para un trabajo descriptivo de conjunto teórico.
