Definición correcta de un problema de módulo

Question

Esta pregunta surgió después de que pensé acerca de Ben Webster comentarios a esta pregunta.

Allí él me preguntó cuál era mi definición de módulos problema. Cuando me puse a pensar en esto, nunca he visto una definición precisa como la que. Mi entendimiento es a lo largo de las siguientes líneas.

A grandes rasgos, decir, queremos describir los módulos problema de la clasificación de los objetos de un cierto tipo. En el functorial formulación, tendríamos un functor

$$Schemes \rightarrow Sets $$ $$ X \mapsto \{ Iso.\ Classes\ of\ some\ objects\ of\ a\ certain\ type\ defined\ over\ X.\}$$

Y si este functor es representable, podemos decir que un buen espacio de moduli existe para esta módulos problema, e incluso si no lo es, si una cierta correspondencia entre puntos y objetos es cierto por algebraicamente cerrado campos, y si una determinada característica universal para esto se cumple, entonces un grueso espacio de moduli existe.

Supongo que el de arriba es el estándar acordado la terminología. Por favor me corrija si estoy equivocado.

Ahora, el problema es que en la definición de un módulos de problema, la noción de un "functor la clasificación de clases de isomorfismo de un cierto tipo de objeto" es vaga. Podríamos tener curvas con puntos marcados, otros tipos de variedades con las condiciones adicionales, paquetes, y así sucesivamente. Si estamos en el otro lado relajar los criterios y permitir que cualquier functor, a continuación, la definición se vuelve demasiado amplia,y que cualquier esquema será un excelente espacio de moduli de su functor de puntos.

Entonces, ¿hay una mejor definición, o esto es todo lo que uno puede decir? Que me perdonen si esta fue una pregunta estúpida.

Answer 1

Ya que muchas personas no han tenido nada que decir, pensé que podría hacer un par de observaciones. Pero ten en cuenta que esto es todo lo que he pasivamente recogido a través de los años---no es el resultado de un estudio real de las cosas.

Creo que la definición correcta de los módulos de un problema es un fibrado categoría $p:E\to B$. Esto debe ser pensado como una familia de categorías parametrizadas por $B$, al igual que usted piensa en un mapa de $X \to S$ de los espacios, como ser una familia de espacios parametrizadas por $S$. Aquí está un ejemplo: $E$ es la categoría cuyos objetos son los mapas de esquemas $X\to S$, lo $X$ una familia de curvas elípticas sobre $S$ (es decir, un abelian esquema de la relación de la dimensión 1), y cuyos mapas son la (esperemos) evidente cartesiano plazas; $B$ es la categoría de los esquemas, y el functor $E\to B$ envía un objeto $X\to S$$S$. El fibrado estructura está dada por jalar: dado $X\to S$ $E$ y un mapa de la $S'\to S$$B$, obtenemos el objeto de $X\times_S S'\to S'$ (que se asigna en$p$$S'$). Si dejamos $E_S$ denotar la fibra de esta fibrado categoría de más de un objeto $S$, entonces en este ejemplo, $E_S$ es la categoría de las familias de curvas elípticas parametrizadas por $S$. Así, el fibrado categoría codifica los datos de todos los posibles familias de curvas elípticas y cómo se comportan en virtud del cambio de base. Así que espero que mi punto de que el fibrado categoría es la de los módulos problema parece razonable.

Luego dicen que el fibrado categoría es representable si hay un objeto $U$ $E$ tal que para cualquier $S$$B$, la tire functor de la categoría discreta que consiste en el conjunto de $\mathrm{Hom}(S,p(U))$ a la categoría de $E_S$ es una equivalencia. Esto es bastante raro. Por ejemplo, esto implica que cada categoría $E_S$ es discreta---todos los mapas son isomorphisms y todos los automorfismos son las señas de identidad. Ciertamente no es este el caso con el ejemplo de curva elíptica. Cada curva elíptica tiene un trivial automorphism dado por el inverso del mapa con respecto a la estructura del grupo.

Otra versión de la representabilidad de un fibrado categoría es el siguiente. Deje $F:B\to\mathrm{Sets}$ denotar el functor que envía un objeto de $S$ para el conjunto de clases de isomorfismo de objetos de $E_S$. A continuación, los módulos problema es (débilmente?) representable si el functor $F$ es representable. Esta definición es, sin duda más débiles en general, que la de arriba, pero es a menudo equivalente en los ejemplos que la gente mira en la geometría algebraica. Por ejemplo, los dos son probablemente equivalentes si cada una de las $E_S$ es una categoría discreta.

Si los módulos problema no es representable, luego de entrar en otras cuestiones, tales como si usted ha eficaz descenso con respecto a algunos de topología en $B$ ($E$ es una "gavilla de categorías"$B$), y si es así, la pila de la teoría de cuestiones, tales como si $E$ puede ser representado por un objeto de la categoría en $E$, y si es así, si se trata de un groupoid objeto.

Answer 2

Lo más cerca que puedo llegar a una "definición" de un moduli functor es "un cociente de un subfunctor del functor de puntos de un esquema Quot". Esta es una definición puramente sociológica; uno puede estudiar otros objetos, pero puede ser difícil y solitario.