¿Cómo se encuentra el límite de$\frac{4x^4 + 5y^4}{x^2 + y^2}$?

Question

Encontrar el límite de $\frac{4x^4 + 5y^4}{x^2 + y^2}$ $(x,y)\to (0,0)$.

Que método puedo utilizar para encontrar el límite de que? Traté de caminos, pero los límites de todos llegó a ser $0$... (como una pregunta, ¿cuando se deja de intentar caminos? Quiero decir que hay muchas maneras de probar al $x$ enfoques $0$. Usted puede tratar de $y=0$, $y=x$, $y=x^2$, $y=mx$, y de muchas más maneras. Después de conseguir como $0$ 4 límites, hacer que acaba de dejar allí y asumir que probar con otro método?) (También, cuando trato de maneras diferentes para las rutas, los límites siempre ser $0$ o de un número finito y nunca DNE?)

Gracias

Answer 1

Existe una estrategia casi universal cuando el denominador es$x^2+y^2$ o un pariente cercano. Dejar $x=r\cos \theta$, $y=r\sin\theta$.

Aquí la parte inferior se convierte en$r^2$, y la parte superior es$4r^4\cos^4\theta+5r^5\sin^5\theta$. Dividir. Obtenemos $4r^2\cos^4\theta+5r^3\sin^5\theta$. Las funciones trigonométricas están limitadas, por lo que el límite es$0$.

Answer 2

En principio, usted puede nunca dejar de buscar nuevos caminos y pueden tener que ser creativo. Sin embargo, usted tiene razón para sospechar que el límite es, de hecho,$0$. Para mostrar esto, es mejor probar que para cada una de las $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ implica $|f(x,y)|<\epsilon$.

Para tu segunda pregunta: Prácticamente cualquier cosa puede suceder a lo largo de diferentes caminos, diferentes límites, de la divergencia al infinito, y por supuesto la correcta divergencia (creo que de zigzagueando entre dos caminos con diferentes límites - el camino en zigzag no tiene un límite).

Answer 3

¿Es esto lo que quieres decir?

ps

$$\underset{x,y\rightarrow0}{\lim}\frac{4x^4+5y^4}{x^2+y^2}=$ $$$=\underset{x,y\rightarrow0}{\lim}\frac{4x^4}{x^2+y^2}+\underset{x,y\rightarrow0}{\lim}\frac{5y^4}{x^2+y^2}=$ $$$=\underset{x\rightarrow0}{\lim}\frac{4x^4}{2x^2}+\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{5y^4}{2y^2}=$ $

Answer 4

Bueno, deje$x^2+y^2=r^2$ luego$$\frac{4x^4 + 5y^4}{x^2 + y^2}\leq\frac {5 r^4}{r^2} =5r^2 \to 0$$ as $ r \ a 0$ $ \ hspace {99mm} \ blacksquare $