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Planitud de anillos locales

¿Qué echo de menos en la siguiente?

Deje $R$ ser un conmutativa Noetherian anillo con unidad. Un mapa de $f:M\to N$ $R$- módulos es inyectiva/surjective iff el mapa asociado $f_p:M_p\to N_p$ sobre la localización es inyectiva/surjective para cada primer ideal $p$ de el anillo de $R$.

Hay un isomorfismo $M_p=M\otimes_R R_p$. Una secuencia $$0\to K\xrightarrow{k} M\xrightarrow{f} N\to 0$$ es exacto iff $k$ es inyectiva y $s$ es surjective. Por lo tanto la secuencia anterior es exacta iff para cada primer ideal $p$ $R$ la secuencia $$0\to K\otimes_R R_p\xrightarrow{k'} M\otimes_R R_p\xrightarrow{f'} N\otimes_R R_p\to 0$$ es exacto. Pero $R_p$ no es plana por $R$ en general, lo es? Lo que me estoy perdiendo? Es la secuencia exacta todavía si me tensor con el residuo de campo $R_p/m_p$?

Gracias!

2voto

Rody Oldenhuis Puntos 119

La secuencia exacta de$R=\mathbb Z$% modules$0\to \mathbb Z \to \mathbb Q$ no es exacta después de la elección$p=2\mathbb Z$ y el tensor con$R_p/m_p =\mathbb Z /(2) $ porque se convierte en$0 \to \mathbb Z /(2)\to 0$

2voto

BWW Puntos 302

Su caracterización de una secuencia exacta le falta exactitud en$M$.

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