En la clase de topología, a menudo escucho declaraciones como "Resulta que$f$ siempre es un mapa de cociente". No entiendo qué es tan especial acerca de los cocientes que la cuestión de si un determinado mapa surjective es o no es un cociente es tan interesante. ¿Qué motiva estas afirmaciones y en qué debería pensar cuando alguien menciona que$f$ es un cociente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dick Kusleika
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Cociente de mapas preservar más de las propiedades de los espacios que la mera continua mapas. E. g. sabemos que si $f:X \to Y$ es surjective y continua, y $X$ está conectado, así que es $Y$. La misma no se sostiene por conectadas localmente $X$ en general, pero sí al $f$ tiene más propiedad de ser un cociente de mapa.
También ayuda a que otras clases de mapas (abierto surjective mapas, cerrado surjective mapas y perfecto mapas) son casos especiales de un cociente de mapas.
Algunas propiedades son chacterised por cociente mapas: Un espacio es un $k$-espacio iff es un cociente de la imagen de un localmente compacto Hausdorff espacio y un espacio secuencial iff es el cociente de la imagen de un metrisable espacio, por ejemplo, implica que estas propiedades se conservan por cociente mapas.
Otro hecho a mano: si $f: X \to Y$ es el cociente se puede probar la continuidad de una función $g: Y \to Z$ por ver si $g \circ f: X \to Z$ es continua. Esta característica universal de los cocientes es importante en la categoría de teoría.
tjerk
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Cociente de mapas de la diversión una vez que el cuelgue de ellos.
Un cociente de espacio es una partición de un espacio S en conjuntos,
cada uno de los cuales es considerado un punto en el cociente
espacio. El cociente mapa de f, es un mapa de cada punto de x, de S
a la partición en la parte en la que x reside.
La topología del espacio cociente es creado por requerir
f sea continua.
En teoría de grupos, una simular partioning real ocurre y el
cociente se requiere para ser un grupo. Que requiere un
normal subgrupo a ser la identidad del cociente grupo.
También puede ser un montón de diversión que nos da,
por ejemplo, los enteros módulo n.
