Encontrar la solución general en forma implícita $dy/dx =xy/(x-y)$

Question

Estoy tratando de encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial en forma implícita, y me parece que no se iba a ninguna parte:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x-y}$$

Esto no es separable, pero he intentado que los separa de todos modos, que en el $dx$ lado sólo había $x$ términos, y entonces me di la $x$ términos de la $dy$ lado que podía mantener constante desde $x$ no es una función de $y$, pero me di cuenta de que no sabemos realmente lo $y$ es así que no puedo decir eso por seguro.

Alguna idea?

EDIT: yo lo he probado en Wolfram y no/no puede hacerlo.

EDIT: El problema real que tenía que resolver era:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2-2y^2}$$

Pensé que esto era de la misma forma que la ecuación que escribí anteriormente, y que Si yo sabía cómo resolver eso, yo podría resolver este. Veo, sin embargo, que en realidad son muy diferentes. Gracias por las respuestas.

Answer 1

Sugerencia

En un comentario, usted escribió que el problema es $$y' = \frac{xy}{x^2-y^2}$ $, que es una historia totalmente diferente.

Escribir la ecuación como $$x'= \frac{x^2-y^2}{xy}$$ and let $x = y z$ que hace $$z+y z'= \frac{z^2-1}z\implies y z'=-\frac 1 z$ $ que ahora es muy sencillo de resolver.

Answer 2

$$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x-y}$$

Parece que la ecuación de Abel

$$g'=-\frac {g^2} y +g^3$$

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Esta ecuación $y=tx$ es simplemente suficiente para resolverlo $$y' = \frac{xy}{x^2-y^2}$ $ $$t'x+t=\frac {t}{1-t^2}$ $ $$t'x=\frac {t^3}{1-t^2}$ $ y esa ecuación es seperable $$\int\frac{1-t^2} {t^3}dt=\ln|x|+K$ $ $$\frac{1}{2t^2} +\ln|t|+\ln|x|=K$ $ $$\boxed{\frac{x^2}{2y^2} +\ln|y|=K}$ $

Answer 3

Si la ecuación es : $$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2-y^2}$$ esta es una de primer orden no lineal de educación a distancia de tipo homogéneo. Por lo tanto, fácil de resolver, con el habitual cambio de $y(x)=xu(x)$.

Si la ecuación es : $$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x-y}$$ es algo completamente distinto.

Deje $x=\frac{1}{u(y)}\quad ;\quad dx=-\frac{du}{u^2}$ $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}-\frac{1}{x} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dy}=\frac{1}{y}-u$$ $$\frac{du}{dy}=\left(u(y)\right)^3-\frac{1}{y}\left(u(y)\right)^2$$ Esta es una de Abel educación a distancia de la primera clase. Este tipo de ecuaciones son generalmente no tienen solución en términos de un número finito de funciones estándar : https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1503/1503.05929.pdf