¿Cómo puedo probar que $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\{kx\}}{k^{2}}$ es continua?

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se define como $$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\{kx\}}{k^{2}},$$ where $$\{x\}=\begin{cases}0; & x = \dfrac{n}{2}\ \text{for some odd integer } n\\x - m(x);& \text{otherwise}\end{cases}$$ and $m(x)$ is the nearest integer to $x$.

Ya he demostrado que $f$ es continua en a $x=0$ (en realidad me ha demostrado que lo es en cualquier entero y, tal vez, en los números racionales de la forma$\dfrac{q}{2^{n}}$, $q$ impar).

Para ver esto basta ver que si $x\in\mathbb{R}$ es tal que $|x|<\dfrac{1}{2^{N}}<ε$ $$\left|\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\{kx\}}{k^{2}}\right|\leq \left|\sum_{k=1}^{S}\frac{\{kx\}}{k^{2}}\right|+\left|\sum_{k=S+1}^{\infty}\frac{\{kx\}}{k^{2}}\right|<\left|\sum_{k=1}^{S}\frac{\{kx\}}{k^{2}}\right|+ε=\left|\sum_{k=1}^{S}\frac{kx}{k^{2}}\right|+ε.$$

Estos últimos pasos son verdaderas porque $f(x)$ converge y, a continuación, no es $J\in \mathbb{N}$ tal que $$\left|\sum_{k=n}^{\infty}\frac{\{kx\}}{k^{2}}\right|<ε$$ for all $n\geq J$ and then, if $S=\max\{N,J\}$, $|kx|<\dfrac{k}{2^{S}}<\dfrac{1}{2}$ for all $k\leq S$, and so $|f(x)|<{\mit Γ}ε + ε$ for some constant $\mit Γ$ and therefore $f(x)$ is continuous at $0$.

Este mismo argumento puede ser usado para demostrar que $f(x)$ es continua en todo número entero y (tal vez) en cualquier racional de la forma $\dfrac{q}{2^{n}}$.

Puedo generalizar para cualquier número real? O ¿cómo puedo encontrar donde $f(x)$ no es continua?

Answer 1

La función que se introdujo como $\{x\}$ tiene una simple serie de Fourier: $$\{x\}=\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}\sin(2\pi m x)}{\pi m} =\frac{1}{\pi}\text{Arg}(1+q),\qquad q=e^{2\pi i x}$$ Aquí "$=$" tiene como una igualdad en $L^2$, y como pointwise la igualdad. La convergencia no es uniforme debido a Gibbs' fenómeno, pero tenemos convergencia uniforme sobre cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{R}\setminus\frac{1}{2}\mathbb{Z}$.
Formalmente $$\sum_{k\geq 1}\frac{\{kx\}}{k^2}=\sum_{k\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}m \sin(2\pi m k x)}{\pi m^2 k^2}=\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(2\pi nx)}{\pi n^2}\sum_{d\mid n}(-1)^{d+1} d$$ puede ser escrita como $$\text{Im}\sum_{n\geq 1}\frac{q^n}{\pi n^2}\left(3-2^{\nu_2(n)+1}\right)\sigma\left(\frac{n}{2^{\nu_2(n)+1}}\right)=\text{Im}\sum_{m\text{ odd}}\frac{\sigma(m)}{\pi m^2}\sum_{j\geq 0}\frac{q^{2^j m}}{4^j}(3-2^{j+1})$$ donde $\left|\sum_{d\mid n}(-1)^{d+1}d\right|\leq\sigma(n)\ll Cn\log\log n$. Por otro lado, si $n$ es un producto de consecutivos impares, números primos tenemos $\sum_{d\mid n}(-1)^{d+1}d=\sigma(n)\gg D n \log\log n$. En particular, $f(x)$ no es una función de variación acotada y tiene que ser discontinua en algún momento.

De hecho, no es difícil comprobar que los límites en $x\to(1/2)^-$ $x\to(1/2)^+$ no coinciden.
Este es un gráfico aproximado de más de $(0,1)$:

$\hspace{1cm}$

Adenda: en este contexto, puede ser interesante para el estrés de una interrelación entre la teoría de los números y el análisis armónico. Por un lado, información acerca de la función aritmética $\sigma(n)$ (como $\sigma(n)\varphi(n)$ siempre tiene orden de $n^2$) demostrar que algunas series de Fourier, esencialmente dada por la parte imaginaria de un Eisenstein serie, no BV. Por otro lado, mediante la aplicación de la transformada de Laplace, Poisson suma de la fórmula y el de Hardy-Littlewood tauberian teorema se puede recuperar la información sobre el promedio de los pedidos de algunos de aritmética en función de tales series de Fourier.