Probar

Question

Este problema proviene de Olimpiada argelino y le pide demostrar que

$$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{5^n(3^{5^{n+1}} -5\cdot3^{5^n} + 4)}{(729)^{5^n} - (243)^{5^n}-5\cdot3^{5^n}+1} = \frac 12.$$

Notando que $729=3^6$ y $243 = 3^5$, he intentado simplificar los términos generales de ajuste $x=3^{5^n}$ pero se parece no dar simplificaciones.

Gracias de antemano por cualquier Consejo / ideas.

Answer 1

Creo que el '$5 \cdot 3^{5^n}$' en el denominador es un error y se puede probar que \sum_{n $$= 0} ^ \infty \frac{5^n (3 ^ {5 ^ {n + 1}} - 5 \cdot 3 ^ {5 ^ n} + 4)} {3 ^ {6 \cdot 5 ^ n} - 3 ^ {5 ^ {n + 1}} - 3 ^ {5 ^ n} + 1} = \frac{1}{2}.$$

De hecho, $$ \sum{n = 0} ^ \infty \frac{5^n (3 ^ {5 ^ {n + 1}} - 5 \cdot 3 ^ {5 ^ n} + 4)} {3 ^ {6 \cdot 5 ^ n} - 3 ^ {5 ^ {n + 1}} - 3 ^ {5 ^ n} + 1} = \sum{n = 0} ^ \infty \left (\frac{5^n}{3^{5^n} - 1}-\frac{5^{n + 1}} {3 ^ {5 ^ {n + 1}} - 1} \right) = \frac {} 5 ^ 0} {3 ^ {5 ^ 0} - 1} = \frac{1}{2}. $$

Answer 2

La serie de hecho convergen (por el coeficiente de prueba, por ejemplo), pero su suma no es $\,\dfrac{1}{2}\,$, más bien, es estrictamente mayor que $\,\dfrac{1}{2}\,$. Los dos primeros términos agregar a $\dfrac{29}{59}$ $+$ $\dfrac{529555380145}{25630480435499}$ $\simeq 0.512$ $\gt \dfrac{1}{2}\,$ ya, y añadiendo más términos positivos sólo aumentará la suma mayor.

Para demostrar que todos los términos están en un hecho positivo, es suficiente señalar que con $\,x=3^{5^n} \ge 3\,$ tanto:

• numerador $\,5^n(x^5-5x+4) = 5^n(x-1)^2(x^3+2x^2+3x+4) \ge 0$;

• denominador $\,x^6-x^5-5x+1 = u^6 + 11 u^5 + 50 u^4 + 120 u^3 + 160 u^2 + 107 u + 23\ge 0\,$ donde $\,u=x-2 \ge 0\,$.

Answer 3

La serie es convergente pero no converge a $0.5$.

Esta serie tiene un alto grado de convergencia y converge a$0.512186580754$, que es mayor que $0.5$.

• En $n=0$, el valor es $0.491525423729$
• En $n=1$, el valor es $0.512186580724$
• En $n=2$, el valor es $0.512186580754$
• En $n=3$, el valor es $0.512186580754$

Aquí está un diagrama de dispersión ,