No es posible tener una norma en $M_n(\mathbb C)$ que respeta la similitud $n > 1$ ya que, por ejemplo, si $A \sim 2A$ y $A \neq 0n$ y $N(A) = 2N(A)$ contradice la separación de la propiedad. Por ejemplo, $A$s.t. $A{1,2} = 1$ y $0$ en otros lugares.
¿Entonces la pregunta es: hay un semi-norma (es decir, sin la propiedad de separación) en $M_n(\mathbb C)$ que respeta la similitud de la matriz?
Cada una de estas semi-norma es una constante no negativa múltiplo del valor absoluto de la matriz de seguimiento.
Supongamos $\|\cdot\|$ es un semi-norma que respete la similitud. A continuación, $\|N\|=0$ por cada nilpotent matriz $N$, debido a $\|2N\|=\|N\|$ por la similitud de $2N$ $N$ pero $\|2N\|=2\|N\|$ por la homogeneidad absoluta de semi-norma.
Por lo tanto, si $A=D+L+U$ donde $D,L,U$ son, respectivamente, la diagonal, estrictamente triangular inferior y estrictamente triangular superior de las piezas de $A$, $\|A\|\le\|D\|+\|L\|+\|U\|=\|D\|$ porque $\|L\|=\|U\|=0$. Del mismo modo, como $D=A+(-L)+(-U)$, por el triángulo de la desigualdad también tenemos $\|D\|\le\|A\|$. Por lo tanto $\|A\|=\|D\|$.
La diagonal de la matriz $D$ puede ser descompuesto en la suma de $\frac{\operatorname{tr}(D)}nI_n$ y un traceless de la matriz. Sin embargo, cada traceless matriz es similar a una matriz con un cero en la diagonal. Así, por un argumento similar a la que en el párrafo anterior, vemos que $\|D\|=\left\|\frac{\operatorname{tr}(D)}nI_n\right\|$, lo que significa que $\|A\|=|\operatorname{tr}(A)|\,\|\frac1nI_n\|$.
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