Derivado de $\frac{1}{\sqrt{x-5}}$ a través de la definición de derivada

Question

Un estudiante de secundaria me ha pedido ayuda con un límite. El maestro quiere calcular la derivada de $$\frac{1}{\sqrt{x-5}}$$ en el punto de $x=9$ utilizando la definición de la derivada. Y! Ellos no saben $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$.

Estoy confundido ya que no saben cómo continuar sin él.

$$\left.\a la izquierda(\dfrac{1}{\sqrt{x-5}}\right)'\,\right|_{x=9} = \lim_{h\to 0} \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4+h}}-\dfrac{1}{2}\right)= \lim_{h\to 0} \dfrac{1}{2h}\left((1+h/4)^{-1/2}-1\right)\color{red}{{\bf=}}-1/16 $$

¿Hay realmente una manera de caminar alrededor?..

Por CIERTO, ¿cuál es la manera más fácil de derivar $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$$\alpha \in \mathbb{R}$? Me olvidé de lo que hicimos en la escuela.

Answer 1

Sugerencia

Multiplicar numerador y denominador de $ \frac{2 - \sqrt{4+h}}{2\sqrt{4+h}} $$ por el conjugado $$ 2 + \sqrt{4+h}. $$

Este truco funciona para raíces cuadradas pero no para otros exponentes.

Answer 2

Tienes $$ \frac1h\,\left(\frac1{\sqrt{4+h}}-\frac12\right) = \frac{2-\sqrt{4+h}}{2h\sqrt{4+h}} \frac1{2\sqrt{4+h}(2+\sqrt{4+h}) =}, $$ después de multiplicar y dividir por $2+\sqrt{4+h}$.

Answer 3

Sugerencia. Uno puede utilizar, como $h \to 0$, $$ \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{\sqrt{4+h}}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{2-\sqrt{4+h}}{2\sqrt{4+h}}\right)=\dfrac{1}{h}\cdot\dfrac{4-(4+h)}{2\sqrt{4+h}\cdot(2+\sqrt{4+h})}. $$