Anteriores no informativo para el modelo de regresión

Question

Estoy mirando en la página. 355 de Gelman Bayesiano de Análisis de Datos (3ª ed.), para el que no hay ninguna errata, y veo esto:

En la normal modelo de regresión, una conveniente no informativo antes de la la distribución es uniforme en $(\beta,\, \log\sigma)$ o, equivalentemente, $$p(\beta,\, \sigma^2|X) \propto \sigma^{-2}$$

¿No debería decir "en uniforme de $(\beta, \log\sigma^2)$"?

Si $W = g(X)$ $g$ monótona creciente, $h \equiv g^{-1}$, no tenemos $$f_{W}(w) = f_{X}(h(w))\;h^\prime(w)$$

Vamos $X=\log\sigma^2$, $g=\exp$, $h=\log$; la densidad de $W=g(X)=\sigma^2$ $f(w) = w^{-1}$ o, si lo he entendido Gelman notación correctamente, $p(\sigma^2)=\sigma^{-2}$.

Estoy en lo cierto o estoy confundido acerca de la notación... o algo completamente equivocado?

Answer 1

Podría decir uniforme en $(\beta, \log \sigma^2)$, pero también es correcto lo que está escrito. Estos son equivalentes, porque $$\begin{equation} \log \sigma^2 = 2\log\sigma \end{equation}$$ y reparametrization multiplicando por una constante mantiene un pdf uniforme uniforme (en su notación, $h'(w)$ es constante).

Answer 2

El original es correcta.

Si intenta tomar la (incorrecta) uniforme antes de la mitad de la línea (digamos, considerándola como un límite de una secuencia apropiada de los priores), en cualquier punto que usted elija, considerar la relación de la probabilidad de su derecho sobre la probabilidad de su izquierda.

No importa lo alto que elegir ese punto ($10^{10^{10}}$? ), que efectivamente está diciendo que usted está casi seguro de que $\sigma^2$ es más que eso y que no tiene casi ninguna posibilidad de ser más pequeño. Eso no es realmente de acuerdo con el concepto de 'informativo'.

Es mejor (para un número de razones) para trabajar en el registro de escala, que cubre toda la recta real (y por lo tanto la uniformidad, no empujar a todos los que la probabilidad de que el final'); la uniformidad en el registro de la escala de resultados de la $1/\sigma^2$ antes de que usted tiene allí. Creo que este es también el Jeffreys antes de $\sigma^2$ en el modelo.