¿Si no es así, hay sólo una limitada numerosa de polinomios que puede encontrarse la raíz?
¿También, si es de $u=x^{\frac{3}{2}}+x$, $x$ expresable en términos de $u$?
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lhf
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Su ecuación se puede solucionar: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+u%3Dx%5E%283%2F2%29%2Bx+for+x
Las matemáticas que decide cuándo un polinomio es soluble por radicales se llaman teoría de Galois y es una de las características distintivas del álgebra moderna.
La respuesta a tu pregunta depende enteramente de lo que "puede ser encontrado". Tomo nota, antes de empezar, que la expresión tiene con exponentes fraccionarios generalmente no es considerada un polinomio: un polinomio en la variable $x$, con coeficientes reales, es una expresión de la forma $$a_0 + a_1x + a_2x^2+ \cdots + a_nx^n$$ donde $a_0,a_1,\ldots,a_n$ son números reales, y $n$ es un entero no negativo. Tenga en cuenta que todas las potencias de la variable son parte integral de poderes. Si $a_n\neq 0$, podemos decir que el polinomio tiene grado $n$.
Al $n\leq 4$, entonces no son fórmulas que expresan todas las raíces del polinomio en términos de los coeficientes ($a_0$, $a_1,\ldots,a_n$). Para $n=1$, que es un polinomio $a_0+a_1x$$a_1\neq 0$, la solución es simplemente $x=-\frac{a_0}{a_1}$. Para $n=2$, que es un polinomio $a_0 + a_1x + a_2x^2$$a_2\neq 0$, se obtiene la conocida fórmula cuadrática que da las dos raíces: $$ r_1 = \frac{-a_1 + \sqrt{a_1^2 - 4a_0a_2}}{2a_2}\quad\text{and}\quad r_2 = \frac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_2}.$$ Al $n=3$ e al $n=4$ también hay fórmulas para expresar todas las raíces del polinomio en términos de los coeficientes y utilizando sólo las operaciones de suma, restas, multiplicación, división y raíz de la extracción. Para $n=3$, estas son las fórmulas de Cardano, y para $n=4$ la solución es debido a Ferrari.
No hay fórmulas similares al $n\geq 5$; este es el célebre Abel-Ruffini teorema. Esto no quiere decir que no hay forma de encontrar las raíces, sólo que no hay ninguna fórmula que se aplica a todos los polinomios que da las raíces en términos de los coeficientes, el uso de determinados tipos de operaciones. Por ejemplo, quintic ecuaciones (grado 5 polinomios) puede ser resuelto utilizando otros más complicados tipos de funciones y operaciones (funciones theta).
Por otro lado, hay un montón de métodos para encontrar aproximado de los valores de las raíces de polinomios, de hecho o de valores que son "tan cerca como te quiero" a las raíces del polinomio. Por ejemplo, del teorema de Sturm puede ayudar a localizar las raíces, aproximadamente, y luego se puede combinar con el método de Newton para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces del polinomio. Véase, por ejemplo, la página de Wikipedia de la raíz-algoritmos de búsqueda.
Pero claro, esto depende de si "encontrar una aproximación", que califica como "puede ser hallado" (o incluso si "se puede encontrar, en teoría, dado el tiempo suficiente para trabajar", que califica como "puede ser encontrado").
Para su "también" pregunta, desea expresar $x$ en términos de $u$ si $u=x^{3/2}+x$. Esto es ligeramente diferente de la "solución de un polinomio"; usted está realmente tratando de encontrar una fórmula para la inversa de a $x^{3/2}+x$ (suponiendo que tiene, que tiene, porque la función es creciente). Puede convertirse en un problema de la solución de un polinomio porque si dejas $z=x^{1/2}$, entonces usted tiene $u=z^3+z^2$, lo que equivale a $z^3+z^2-u=0$; esto es un polinomio cúbico, por lo que las raíces del polinomio se puede expresar en términos de los coeficientes (en este caso, $1$, $1$, $0$, y $-u$) con Cardano las fórmulas. A continuación, habría que reemplazar$x^{1/2}$$z$, en el caso en que $z$ es no negativa y real, y el cuadrado te da la respuesta. Así que, sí, se puede hacer.
Mauli
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Sí, sólo hay una cantidad limitada de polinomios para los que podemos encontrar la exacta, es decir, algebraicas raíces por algunos de fórmula general (como es posible que los polinomios cuadráticos).
En particular, la de Abel-Ruffini-teorema de los estados que no hay tal solución general para polinomios de grado cinco o superior en términos de los radicales.
Esto no quiere decir que no tienen raíces (en realidad siempre ), pero uno tiene que escribirlas o aproximado en otras formas.
En cuanto a la ecuación (tenga en cuenta que esto ya no es una ecuación polinómica, que requeriría que los exponentes para ser enteros, pero en general la suma de la energía)
$$ u = x ^ {\frac{3}{2}} + x$$
Sustituimos $k = x^{\frac{1}{2}}$ y ahora tiene que resolver un cúbicos (polinomio) ecuación
$$ k^3 + k^2 - u = 0 $$
Para estudios de grado tres, se puede usar un bien conocido, pero un poco difícil de manejar solución general de la fórmula y, finalmente, obtener cero a tres resultados.
