Hay una escuela primaria, una prueba de un resultado acerca de la paridad en el período de la repetición del bloque en la continuidad de la fracción de expansión de las raíces cuadradas

Question

Es un hecho conocido que para un Primer $P$, $P\equiv 1$ mod $4$ fib, la duración del período en la repetición de bloques para la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{P}$ es impar. Tengo una primaria prueba de ello usando la clásica resultado: $P\equiv 1$ mod $4$ fib $x^2-Py^2=-1$ ha entero de soluciones y una prueba de que $x^2-Py^2=-1$ ha entero soluciones iff, la duración del período en la repetición de bloques para la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{P}$ es impar.

He intentado varias veces para dar un directo de primaria prueba de que $P\equiv 1$ mod $4$ implica que la duración del período en la repetición de bloques para la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{P}$ es extraño, pero no puedo parecen entenderlo. (Tengo un directo de primaria prueba de lo contrario)

¿Alguien sabe de una escuela primaria prueba de este resultado o donde puedo encontrar uno?

Answer 1

Esto no responde a su pregunta, pero puede que le da cierta intuición de por qué esto es cierto. Dado el hecho de que exista una solución a la ecuación de $x^2-Py^2=-1$ al $P\equiv 1(\mod 4)$, uno ve que la matriz de $$ \begin{pmatrix}x & Py \\\ y & x\end{pmatrix} $$ corrige $\pm\sqrt{P}$ (bajo la acción de $PGL_2(\mathbb{Z})$$\mathbb{RP}^1=\partial_{\infty} \mathbb{H}^2$). La clase conjugacy de una primitiva de la matriz en $GL_2(\mathbb{Z})$ (que no es reducible o finito de orden) se determina por la cerrada geodésica en el sistema modular de orbifold que representa. Este a su vez está determinado por una secuencia de triángulos que la geodésica cruces en la Farey gráfico: Estos triángulos vienen en racimos compartir un vértice común, donde el número en cada racimo corresponde a los coeficientes de la continuación de la fracción de expansión. La matriz es conjugado a $$\pm \left[\begin{array}{cc}1 & a_1 \\\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\ a_2 & 1\end{array}\right] \cdots \left[\begin{array}{cc}1 & a_{2n} \\\ 0 & 1\end{array}\right]$$ si el determinante es 1, y para $$\pm \left[\begin{array}{cc}1 & a_1 \\\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\ a_2 & 1\end{array}\right] \cdots \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\ a_{2n-1} & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\ 1 & 0\end{array}\right] $$ if the determinant is $-1$.

[Nota: las etiquetas en esta figura no se corresponden exactamente con las matrices - debería ser $a_i$'s en lugar de $\alpha_i$'s, y $\alpha_{\pm}$ debe $\pm\sqrt{P}$]

El número de tales factores se corresponden exactamente con el período de la continuación de la fracción de expansión de puntos fijos de la matriz, ya que el cerrado geodésica es asintótica en $\mathbb{H}^2$ a de la línea geodésica conectar $\infty$$\sqrt{P}$, cuya secuencia de Farey da lugar a la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{P}$. Este número es par si y sólo si la matriz es la orientación de la conservación, que es si y sólo si el determinante es 1. Por lo que el factor determinante es $1$ si y sólo si la continuación de la fracción tiene aún período, y el factor determinante es $-1$ si y sólo si la continuación de la fracción tiene impar período, correspondiente a $P\equiv 1(\mod 4)$.

Answer 2

Ver Nagell, Introducción a la teoría de números, el Teorema de 107. Originalmente fue demostrado por Legendre, ver Dickson, L. E. Historia de la teoría de los números. Vol. II, pág. 365. Hay más ejemplos, debido a Dirichlet, ver Dirichlet del Werke, Bd. 1 (1889), pp 219-236.

Una extensa bibliografía sobre la negativa de la ecuación de Pell se puede encontrar en Guerassim, I.-Kh.Yo. En la génesis de Redei la teoría de la ecuación x 2 -Dy 2 =-1. (Ruso) Zbl 0731.01014 Istor.-Mat. Issled. 32/33, 199-211 (1990) (disponible en forma electrónica).