Valor mínimo

Question

Si la gráfica de $f(x)=2x^3+ax^2+bx$ cruza la $x$-eje en tres puntos distintos, entonces ¿cuál es el mínimo valor de $a+b$? Aquí $a$ $b$ son números naturales.

Mi intento:
Como la gráfica interseca el $x$-eje en tres puntos distintos, se ha $2$ locales máximos/mínimos. Deja que estos $2$ locales máximos/mínimos de los ser $x_1, x_2$.

Encontré $f'(x)=6x^2+2ax+b$
Por lo $x_1, x_2$ son las raíces de $6x^2+2ax+b=0$

Yo no podía resolver. Creo que el valor mínimo de $a+b$$\sqrt {ab}$.

Es mi enfoque correcto o hay algún otro método?

Answer 1

Debe cortar en $x=0$, así que tenemos que asegurar a que $2x^2+ax+b$ tiene dos raíces distintas de cero. Claramente $b \neq 0$.

Entonces el discriminante $\Delta = a^2-8b > 0 \implies a^2 > 8b$. Entre números naturales, debería ser obvio que debemos elegir $b=1, a = 3$ para obtener el mínimo $a+b$.

Answer 2

Para la intersección de la curva de $f(x)=2x^3+ax^2+bx$ con el eje x, tenemos $$f(x)=0 \implies 2x^3+ax^2+bx=0$$ $$\implies x(2x^2+ax+b)=0 \implies x=0\ \text{&}\ 2x^2+ax+b=0 $$ Now, for intersection of curve $f(x)$ with the x-axis at three distinct points, the quadratic equation: $2x^2+ax+b=0$ debe tener dos raíces.

Por lo tanto, hemos determinante $B^2-4AC>0$ $$\implies (a)^2-4(2)(b)>0$$ $$\implies a^2-8b>0$$ $$\implies \color{red}{a^2>8b}$$ Since, $un$ & $b$ are natural numbers hence, to get minimum value of $\color{red}{(a+b)}$ the numbers $$ & $b$ tanto debe ser de por lo menos números naturales satisfacción de la anterior relación.

Por lo tanto, sustituyendo el mínimo valor posible de $b$$b=1$, obtenemos $$a^2>8\times 1\implies a^2>8$$ Now, the least possible value of $un$ satisfying the above inequality is $8$

Así, $a=3$ & $b=1$ son plenamente satisfactoria la desigualdad, por lo tanto el valor mínimo de $(a+b)$ se da de la siguiente manera $$\color{blue}{a+b=3+1=4}$$