¿Por qué son valores mayores de $\pi$ radianes dados como negativo en forma exponencial?

Question

Encontrar la quinta raíces de $-3+3i$ en forma exponencial.

Mis respuestas son: $$1.335e^{3i\pi/20}$$ $$1.335e^{11i\pi/20}$$ $$1.335e^{19i\pi/20}$$ $$1.335e^{27i\pi/20}$$ $$1.335e^{35i\pi/20}$$

Wolfram le da a los dos últimos como $1.335e^{-13i\pi/20}$ $1.335e^{-i\pi/4}$ (enlace a Wolfram Alpha)

Puedo ver estos son mis valores menos $2\pi$, pero ¿por qué está escrito como este, es decir, en la forma negativa?

Answer 1

Wolfram Alpha es usando la rama principal del logaritmo complejo (enlace de Wikipedia), que se define que parte compleja en $(-\pi,\pi]$; equivalente, utiliza el valor principal de la función de argumento complejo (enlace de Wikipedia).

Answer 2

La forma polar de un número complejo no es única. Una convención común para elegir un ángulo único de un número complejo es devolver el ángulo en el rango de $-\pi < \theta \le \pi$. Esto se llama el principio del argumento de la serie, en lugar de sólo un argumento de la serie. Pero ya se puede ir hacia adelante o hacia atrás a una rotación sobre el origen y termina en el mismo lugar, usted tiene que usted puede agregar cualquier múltiplo de $2\pi$ y todavía representan la misma coordenada.

Algebraicamente, tenemos que $e^{2k\pi i} = 1$, lo $r e^{i\theta} = r e^{i\theta}e^{2k\pi i} = r e^{i\theta + 2k \pi i}$ para cualquier entero $k$.