¿Por qué debe uno esperar valoraciones para ser relacionados con números primos? ¿Cómo tratar un lugar infinito algebraico?

Question

Entiendo la mecánica de la prueba de Ostrowski del Teorema, pero estoy un poco confuso sobre por qué uno debería esperar que las valoraciones estar relacionado con los números primos. Esta es una propiedad especial de los campos de número y función de los campos, o hacer números primos de K[x,y] corresponden a valoraciones sobre K(x,y) de la misma manera?

Yo estoy esperando una respuesta que puede explicar qué son exactamente los algebraicas análogos de archimedian valoraciones, y cómo - por ejemplo, he oído que el infinito lugar en K(x) corresponde a la "prime (1/x)" - ¿cómo puede uno tomar un polinomio en K[x] "mod (1/x)" rigurosamente?

Gracias de antemano.

Answer 1

No podía divina mucha información sobre sus antecedentes (por ejemplo, de licenciatura, de maestría, de Doctorado estudiante...) de la pregunta, pero recientemente he enseñado a un nivel intermedio curso de postgrado que había una unidad de valoración de la teoría. Las secciones 1.6 a través de 1.8

http://math.uga.edu/~pete/8410Chapter1.pdf

responder a sus preguntas. En particular, si su campo de $K$ es la fracción de campo de un dominio de Dedekind $R$, entonces siempre se puede utilizar cada uno de los prime ideal $\mathfrak{p}$ $R$ a definir una valoración en $K$, esencialmente en el orden "a $\mathfrak{p}$". También hay un conversar resultado, Teorema 13: si usted tiene una valoración en $K$ que tiene la propiedad adicional de que es no negativo a cada elemento del dominio de Dedekind $R$, entonces tiene que ser (hasta equivalencia) el $\mathfrak{p}$-ádico de valoración para algunos $\mathfrak{p}$. Sentí la necesidad de dar a esta condición adicional de un nombre, así que me llama como una valoración de R-regular.

El punto es que (como Qiaochu dice en sus comentarios), en el caso de $K$ es un campo de número y $R$ es su anillo de enteros, cada valoración en $K$ $R$- regular. Sin embargo, en el campo de función de ajuste de esto no es cierto y esto lleva a una discusión de "infinito". Tenga en cuenta que describen los análogos de Ostrowski del Teorema para finito de extensiones tanto de $\mathbb{Q}$ e de $F(t)$ para cualquier campo $F$ (en el último caso, se restringe a las valoraciones que son triviales en $F$; al $F$ es finito, esta condición es automático).

Me interesaría saber si se puede encontrar las notas útiles. Si no, yo o alguien más probablemente puede recomendar una alternativa de referencia.

Answer 2

Discretos valoraciones <-> puntos en una curva

Para un nonsingular curva proyectiva a través de una algebraicamente cerrado de campo, hay una correspondencia entre los puntos en los que, y el discreto valoraciones de la función de campo (es decir, todos los meromorphic funciones de la curva). La correspondencia es el punto P -> la valoración que envía una función f, a la orden de zero/pole de f en P.

Máxima ideales <-> puntos en una curva

Al menos para las variedades (ceros comunes de varios polinomios) a través de una algebraicamente cerrado de campo, hay una correspondencia entre puntos, y el máximo ideal en $k[x_1,\cdots,x_n]$. La correspondencia es el punto de $P = (a_1,\cdots,a_n)$ -> los polinomios de fuga en P, que resulta ser $(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)$. Esto es cierto no sólo para las curvas, pero para las variedades. (Hilbert Nullstellensatz)

Para poner esto juntos, para nonsingular proyectiva curvas de más de un algebraicamente cerrado de campo, ya sabes que hay una correspondencia entre la máxima ideales (piense en ellos como puntos) y el discreto valoraciones de la función de campo. Ahora la situación es análoga. Considera una "curva", cuyas coordenadas anillo es $\mathbb{Z}$, con la función de campo de $\mathbb{Q}$. El nonarchimedean valoraciones corresponden a las valoraciones en este caso. Así que se debe capturar el fin de ceros/polos en algunos "puntos". ¿Cuáles son los puntos? Que debe corresponder a la máxima ideales de $\mathbb{Z}$, que son exactamente los números primos aquí.

Como para $K(x)$, miren como el campo de función de $K\mathbb{P}^1$. Como la costumbre real/complejo de espacios proyectivos, usted debe tener dos piezas aquí. Vamos a decir $K[x]$ corresponde a la pieza donde la segunda coordenada es distinto de cero. De modo que la correspondiente homogénea coordenadas de aquí es como el $[x,1]$. Sabemos que hay un punto que falta, que es $[1,0]$. Para ello, vamos a cambiar nuestras coordenadas $[x,1] \to [1,1/x]$, por lo que la pieza donde la primera coordenada es cero debería ser $K[1/x]$. El punto que falta corresponde al ideal de $(1/x - 0) = (1/x)$, por lo que esta es la razón por la infinita lugar corresponde a (1/x). Por supuesto, una más sencilla la interpretación es que para una función racional, se divide el numerador y el denominador suficientemente alta potencia de $x$, de modo que ambas cosas se vuelven polinomios en 1/x, tienen distinto de cero término constante, con un plazo adicional (x a algunos de potencia). El infinito a cabo medidas de este poder.