Problema
¿Existe un irracional $\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ tal que el conjunto $S= \{\,\{2^N\alpha\} :N\,\in\mathbb{N}\}$ es no denso en $[0,1]$ .
Aquí $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ es el parte fraccionaria de $x$ .
En el pasado se han formulado preguntas muy similares a esta. Por ejemplo
Múltiplos de un número irracional que forman un subconjunto denso
Sin embargo ahora mismo no puedo ajustarlos y poner los dos palos juntos.
Contexto
Estaba tratando de probar la siguiente proposición --- que no es realmente verdadera cuando $n>2$ .
Dejemos que $n>2$ y que $O_n$ sea el subconjunto (propio) de $[0,1]$ de números irracionales que contienen sólo $0$ s y $1$ s en su base- $n$ expansión. Si tomamos $\alpha\in O_n$ tenemos entonces que
$$\{n^N\alpha\}\in O_n\text{ for all }N\in\mathbb{N}$$
y así $S$ no puede ser denso en $[0,1]$ cuando $n>2$ .
Propuesta
Supongamos que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{Z}$ es un mapa de potencia $f(z)=z^n$ para algunos $n\geq 2$ .
Entonces el sistema dinámico $(\mathbb{C},f)$ presenta los cuatro comportamientos siguientes:
-
Si $z_0\in\mathbb{D}:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ entonces $z_n\rightarrow 0$ .
-
Si $z_0\in\mathbb{C}\backslash\bar{\mathbb{D}}:=\{z\in\mathbb{Z}:|z|>1\}$ entonces $z_n\rightarrow\infty$ .
-
Si $z_0\in\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ entonces hay dos comportamientos:
a. Si $z_0=e^{q\,2\pi i}$ con $q\in\mathbb{Q}$ entonces $z_0$ es eventualmente periódica.
b. Si $z_0=e^{\alpha\,2\pi i}$ con $\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ entonces $z_0$ tiene una órbita densa.
De hecho, $(\mathbb{T},f)$ es una cartografía caótica.
Prueba: 1, 2 y la primera parte de 3 fueron ilustrados en clase para $n=4$ . Aquí demostramos que para un $n\geq 2$ .
Supongamos que $z_0=e^{\alpha\cdot\,2\pi i}$ con $\alpha\in\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$
Reclamación 1: $z_0$ no es eventualmente periódica.
Prueba por contradicción : Supongamos que $z_0=e^{\alpha\cdot2\pi i}$ es eventualmente periódica. Es decir, existe un iterado de $z_0$ , digamos que $f^N(z_0)$ que es periódica. Nótese que
$$f^N(z_0)=z_0^{n^N}=\left(e^{\alpha\cdot 2\pi i}\right)^{n^N}=e^{n^N\alpha\cdot2\pi i}.$$
Ahora bien, si este punto es periódico entonces existe un $M\geq 1$ tal que
$$f^M(e^{n^N\alpha\cdot2\pi i})=e^{n^N\alpha\cdot2\pi i}$$
$$\Rightarrow e^{n^Nn^M\alpha\cdot2\pi i}=e^{n^N \alpha\cdot2\pi i}$$
Si estos dos números complejos son iguales, entonces su argumento/ángulo debe diferir sólo en un múltiplo de $360^\circ$ es decir $k\cdot 2\pi$ para $k\in\mathbb{Z}$ :
$$n^{M}n^N\alpha\cdot 2\pi-n^N\alpha\cdot 2\pi=k\cdot 2\pi$$
$$\Rightarrow n^{N+M}\alpha-n^N\alpha=k$$
$$\displaystyle\alpha=\frac{k}{n^{N+M}-n^N},$$
pero esto es una contradicción ya que $\alpha$ no es una fracción. Por lo tanto, $z_0$ no es eventualmente periódica $\bullet$
Afirmación 2: Dos iterados de $z_0$ se pueden encontrar que están arbitrariamente juntos.
Prueba : Obsérvese que la longitud del círculo unitario es $2\pi$ . Supongamos que dividimos el círculo unitario en $N$ arcos $A_1,A_2,\dots,A_N$ cada una de ellas de igual longitud $\displaystyle \frac{2\pi}{N}$ (para tener cuidado supongamos que contienen sus extremos "derecho" pero no los "izquierdo"). Ahora, sabemos que $z_0$ no es eventualmente periódica por lo que la primera $n$ iterados de $z_0$ son todos distintos:
$$z_0,z_1,z_2,z_3,\dots,z_N.$$
Tenga en cuenta que hay $N$ arcos pero $N+1$ itera por lo que por el Principio de la Colocación existe un arco $A_i$ que contiene dos iterados de $z_0$ --- decir $z_i$ y $z_j$ --- que están en el mismo arco. Tome $N\rightarrow \infty$ para que los arcos se vuelvan arbitrariamente pequeños y los puntos se acerquen arbitrariamente $\bullet$
Afirmación 3: Hay un número $M$ tal que $z_0$ y $f^M(z_0)$ están arbitrariamente juntos.
Prueba : Sabemos que para cualquier $N$ podemos encontrar dos iterados de $z_0$ que están como máximo (radialmente) separados por $\displaystyle \frac{2\pi }{N}$ . Denote estos por
$z_i=f^i(z_0)$ y $z_j=f^j(z_0)$ ... lo que esperaba hacer aquí en realidad no funciona. Hmmm...
