Secuencia converge iff $\limsup = \liminf$

Question

Quiero demostrar que una secuencia de números reales $\{s_n\}$ converge a $s$ si y sólo si $\limsup_{n \to \infty} s_n = \liminf_{n \to \infty} s_n = s$.

Aquí están mis definiciones:

Para cualquier secuencia de números reales $\{s_n\}$, vamos a $E$ ser el conjunto de todos los subsequential límites de $\{s_n\}$, incluyendo posiblemente $+\infty$ y/o $-\infty$ si subsequence de $\{s_n\}$ diverge a infinito. A continuación,$\limsup_{n \to \infty} s_n = \sup E$, e $\liminf_{n \to \infty} s_n = \inf E$.

Sé el teorema de que una secuencia converge a un punto si y sólo si cada uno de sus subsecuencias convergen en el mismo punto, de modo que una dirección de esta prueba es fácil:

Si $\{s_n\}$ converge a algún punto de $s \in \mathbb{R}$, entonces cada subsequence de $\{s_n\}$ converge a $s$. Así que el conjunto $E$ de todos los subsequential límite de $\{s_n\}$ consiste en el único punto de $s$, por lo que $$\limsup_{n \to \infty} s_n = \sup \{s\} = s = \inf \{s\} = \liminf_{n \to \infty} s_n$$

Pero la otra dirección parece más complicado...

Si $\limsup_{n \to \infty} s_n = \liminf_{n \to \infty} s_n = s$, entonces cada convergente larga converge en el mismo punto en $s$. También, puede ser que no subsecuencias que varían hasta el infinito (de lo contrario $\limsup_{n \to \infty} s_n$ $+\infty$ o$\liminf_{n \to \infty} s_n$$-\infty$).

Pero no puede haber subsecuencias que divergen de lo contrario? Y no se que tirar la convergencia de $\{s_n\}$?

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EDITAR:

También me gustaría estar dispuestos a aceptar una solución que hace uso de la "Pellizcar Teorema" (si $a_n \leq s_n \leq b_n$ por cada $n \in \mathbb{N}$, y si $a_n \to s$$b_n \to s$,$s_n \to s$).

Answer 1

Datos útiles que usted debe verificar:

1. Cualquier ilimitado de la secuencia tiene una larga divergentes a $\infty$ o a $-\infty$.

2. Cualquiera limitada secuencia convergente larga.

Usted bien señala que la hipótesis de que la $\limsup_{n \to \infty} s_n$ $\liminf_{n \to \infty} s_n$ son tanto finito implica que $(s_n)_{n=1}^{\infty}$ no tiene subsecuencias que divergen hasta el infinito. Pero (1) implica que más es cierto: la secuencia de $(s_n)_{n=1}^{\infty}$ debe ser limitada.

Arreglar cualquier $\epsilon > 0$.

• No puede haber una infinidad de $n$ que $s_n \geq s + \epsilon$, debido a que usted podría seleccionar de ellos subsequence $y_k = s_{n_k}$ satisfacción $y_k \geq s + \epsilon$ todos los $k$.

  • Desde la secuencia de $(s_n)_{n=1}^{\infty}$ es limitada, por lo que es la secuencia de las $(y_k)_{k=1}^{\infty}$. (2) tiene una larga convergente a algunos límite de $L$; y por hechos básicos acerca de los límites, ya que $y_k \geq s + \epsilon$ todos los $k$, uno debe tener $L \geq s + \epsilon$.
  • Pero $L$ es claramente también un subsequential límite de $s$, lo que nos permite deducir que $\limsup_{n \to \infty} s_n \geq s + \epsilon$, una contradicción.

• Del mismo modo, no puede haber una infinidad de $n$ que $s_n \leq s - \epsilon$.

De modo que existe un entero positivo $N$ con la propiedad de que cada vez que $n \geq N$ uno tiene $$ s - \epsilon < s_n < s + \epsilon, $$ y desde $\epsilon > 0$ fue arbitraria, $(s_n)_{n=1}^{\infty}$ converge a $s$.

Answer 2

Otra posible solución (para delimitada caso), sólo tiene que utilizar estos hechos:

1. $\inf A=\sup A \quad\Leftrightarrow\quad A=\{\text{single element}\}.$ (Un acotado y no vacío) Prueba de

2. $(x_n)\text{ bounded and every convergent subsequence of } x_n\text{ converges to } a \quad\Rightarrow \quad\lim(x_n)=x$$ A prueba de