Si $X$ es localmente compacto, segundo contables y Hausdorff, entonces $X^*$ es metrizable y, por tanto, $X$ es metrizable

Question

Necesito mostrar que: Si $X$ es localmente compacto, segundo contables y Hausdorff, entonces $X^*$ es metrizable y, por tanto, $X$ es metrizable.

Ya he demostraron que cada localmente compacto Hausdorff espacio es regular. Entonces yo uso ese $X$ es regular y el segundo contables a aplicar Urysohn del metrization y teorema de decir que $X$ debe ser metrizable. Sin embargo, esto no muestra que $X^*$ (uno punto compactification) es metrizable. Sé que $X^*$ es compacto y regular, pero no sé que $X^*$ es segundo contable. ¿Cómo puedo demostrar que $X^*$ es segundo contable y, por tanto, metrizable? O, si no es posible, ¿qué más debo enfoque de este problema?

Answer 1

Desde $X$ es segundo contable, todo lo que usted necesita para $X^*$ a ser el segundo contables es una contables barrio de base para el punto en el infinito, ¿verdad? Desde $X$ es localmente compacto y segundo contables, usted puede cubrir $X$ con countably muchas de conjuntos cuyos cierres son compactos. A continuación, cada subconjunto compacto de $X$ está contenida en un número finito de unión de los bloques abiertos, y los complementos de los cierres de los sindicatos proporcionará una contables barrio de base para $\infty$.

Answer 2

Intentar establecer los siguientes hechos:

• $X$ $\sigma$- compacto.
• $X$ es hemicompact.
• El uso de la hemicompactness de $X$ a la construcción de un contable de barrio base en$\infty$$X^*$.
• A la conclusión de que $X^*$ es segundo contable.

Ver Teorema 3.44 en Aliprantis de la Frontera (2006), páginas 92-93) para más detalles.