4 votos

Lemma de Schur: ¿Es único el isormorfismo entre dos espacios irreducibles?

Supongamos que V1V2V1V2 son dos representaciones irreducibles del grupo finito G. Entonces el Lemma de Schur dice que cualquier mapa invariante de G entre ellas es o 0 o un Isormorfismo. Entiendo que si V1=V2=VV1=V2=V entonces cualquier automorfismo es un múltiplo escalar y se demuestra considerando los espacios eigen.

PPero si estos dos espacios vectoriales no son iguales, ¿qué puedo decir del isomorfismo entre ellos? ¿Es único hasta un múltiplo escalar? ¿Cómo se demuestra esto, ya que no puedo considerar los espacios propios?

2voto

rschwieb Puntos 60669

Voy a hablar más en general de AA módulos para un FF -álgebra AA , FF un campo. Esto se aplicaría al álgebra F[G]F[G] para su uso en la teoría de la representación.

Como dice el teorema de Schur, D=End(VA)D=End(VA) es un anillo de división si VV es un simple derecho AA módulo.

Ahora, para cualquier elemento particular aDaD y fFfF , fafa es de hecho otro isomorfismo de VV , pero en principio hay más FF multiplica escalares. De hecho, todos los DD Los múltiplos escalares también son isomorfismos. (Elementos de dd multiplicar a la izquierda del isomorfismo). Ya ves, DD puede ser mayor que FF por lo que podría haber más cosas además de la FF múltiplos. Así que puede decimos que los isomorfismos son únicos hasta DD múltiplos, pero no creo que sea lo que pretendías en un principio.

Ahora, DD no puede ser mucho mayor: DD es una dimensión finita- FF álgebra. Si su campo FF resulta ser algebraicamente cerrado (como C por ejemplo), entonces no existen extensiones finito-dimensionales adecuadas de F Entonces D=F . En ese caso, cualquier isomorfismo de V que elijas es un F múltiplo de cada otro isomorfismo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X