Alternative(?) definición de normalizador

Question

Deje $G$ ser un grupo y $H$ ser un subgrupo. Considere el siguiente conjunto: $$\hat{N}(H):=\left\{g\in G: g^{-1}Hg \subset H\right\} $$ El normalizador de la $H$ es generalmente definido como $$N(H):=\left\{g\in G: g^{-1}Hg=H\right\} $$ Mi pregunta es: ¿son estos dos conjuntos iguales? Si $H$ es finito, entonces la respuesta es ciertamente positiva. El mapa de $x\mapsto gxg^{-1}$ es un inyectiva mapa de $H$ a $H$, por lo que si $H$ es finito, también es invertible. Por lo tanto $g^{-1}Hg\subset H$ implica $g^{-1}Hg=H$, e $\hat{N}(H)=N(H)$.

En el caso general, mi conjetura sería que no. El normalizador es un subgrupo de $G$, mientras que el $\hat{N}(H)$, posiblemente, no lo es. Mientras que $1 \in \hat{N}(H)$ $g,h \in \hat{N}(H)\Rightarrow gh \in \hat{N}(H)$ si $g\in \hat{N}(H)$ i no se deduce que $g^{-1}\in \hat{N}(H)$. No podía encontrar ningún contraejemplo, aunque. Sé que $H$ tendría que ser infinito y nonabelian (de lo contrario $g^{-1}Hg=gHg^{-1}$). He intentado utilizar algunos subgrupos de $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$, pero todos los que yo podría construir tenía toda la $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ como sus normalizador.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo.

Tome $G=\operatorname{Sym}(\Bbb Z)$, el grupo de permutaciones de los números enteros, y deje $H$ ser el subgrupo de permutaciones que dejan los números naturales fijo. Deje $g$ ser la permutación $m\mapsto m+1$. A continuación,$g\in \hat{N}(H)$ : de hecho, si $\sigma\in H$, entonces para todos los $n\geq 0$ tenemos $(g^{-1}\sigma g)(n)= \sigma(n+1)-1 = n$ porque $n+1\geq 0$. Pero $g^{-1}\notin \hat{N}(H)$, porque si tomamos $\tau=(-1\; -2)\in H$, obtenemos $(g\tau g^{-1})(0)=\tau(0-1)+1=-2+1=-1$, lo $g\tau g^{-1}\notin H$.