Relación de las expectativas para la variable aleatoria valores enteros

Question

Una variable de aleatoria de valores enteros no negativos $Y$ con expectativa positiva, mostrar que %#% $ #%

Supongo que la probabilidad es de que $$\dfrac{E[Y]^2}{E[Y^2]}\leq\Pr[Y\neq 0].$ $Y=i$, $x_i$. Entonces la desigualdad se convierte en

%#% $ #% ¿Cómo puede ser demostrado?

Answer 1

Así que, después de mi anterior comentario y tu trabajo hasta el momento, tenemos que nuestra hipótesis es

$$\frac{(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots)^2}{x_1 + 4x_2 + 9x_3 + \cdots}\leq x_1 + x_2 + x_3 + \cdots$$

multiplicando ambos lados por el denominador (es no negativo, por lo que el signo no flip)

$$(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots)^2 \leq (x_1 + x_2 + x_3 + \cdots)(x_1 + 4x_2 + 9x_3 + \cdots)$$

Buscando en la $x_i x_j$ plazo, en particular si $i\neq j$ que tiene en la izquierda, $2ij x_i x_j$ y en el derecho $(i^2 + j^2) x_i x_j$ o si $i=j$ $i^2 x_i^2$ a la izquierda y $i^2 x_i^2$ a la derecha, que siempre es igual en el segundo caso.

Mirando el primer caso con más cuidado, tenemos $2ij$ en comparación con $i^2 + j^2$. Restando el lado izquierdo, tenemos 0 con respecto a los $i^2 - 2ij + j^2$ $(i-j)^2$ que es un número real al cuadrado y es siempre mayor o igual a cero.

Por lo tanto, ya que para cada $i,j$ tiene que el coeficiente de la izquierda es menor o igual que el coeficiente de la derecha, la izquierda debe ser menor o igual al lado derecho, lo que demuestra la declaración.

Answer 2

Si $E[Y] \gt 0$ y $\Pr(Y \ne 0) \gt 0$ y $E[Y] = E[Y\mid Y \not = 0] \times \Pr(Y \not = 0) \gt 0$,

$E[Y]^2 = E[Y\mid Y \not = 0]^2 \times \Pr(Y \not = 0)^2 \gt 0$ y finito;

y del mismo modo $E[Y^2] = E[Y^2\mid Y \not = 0] \times \Pr(Y \not = 0) \gt 0$ posiblemente infinita.

$Var(Y\mid Y \not = 0) = E[Y^2\mid Y \not = 0] - E[Y\mid Y \not = 0]^2$ es no negativo así $\dfrac{E[Y\mid Y \not = 0]^2}{E[Y^2\mid Y \not = 0]} \le 1$,

así $\dfrac{E[Y]^2}{E[Y^2 ]} = \dfrac{E[Y\mid Y \not = 0]^2 \times \Pr(Y \not = 0)^2}{E[Y^2\mid Y \not = 0] \times \Pr(Y \not = 0)} \le \Pr(Y \not = 0)$.

Answer 3

Si $E[Y^2]=\infty$ a continuación el comunicado sostiene trivial. De lo contrario, produce desigualdad de Markov $$P(\left|Y-E[Y]\right|\ge E[Y^2]) \le \frac{\text{Var}(Y)}{E[Y^2]}$$ Now since $Y $ is nonnegative and integer-valued $$P(Y=0)\le P(\left|Y-E[Y]\right|\ge E[Y^2])$$ (see explanation below) so that $$P(Y=0)\le\frac{\text{Var}(Y)}{E[Y^2]}$$ The last equation can be written as $$1-P(Y\neq0)\le \frac{E[Y^2]-E[Y]^2}{E[Y^2]}$$ which reduces to $% $ $\frac{E[Y]^2}{E[Y^2]}\le P(Y\neq0)$

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Tenemos que %#% $ #%