intersecciones de conjuntos en espacios métricos

Question

(a) Que $A_{n}=B_{1/n}((0,0))$ en $\mathbb{R}^{2}$ con la métrica habitual. Demuestre que $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}$ no está abierto.
(b) Encuentre una colección infinita de conjuntos abiertos distintos en $\mathbb{R}^{2}$ con la métrica habitual cuya intersección es un conjunto abierto no vacío.

Intento de (a): Claramente $(0,0)\in A_{n}$ , $\forall n\in\mathbb{N}$ así que $0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}$ . Sea $(a,b)\not=(0,0)$ s.t. $(a,b)\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}$ .
Desde $d((a,b),(0,0))= \sqrt{a^2+b^2}\in\mathbb{R^+}>0$ ¿podemos decir que por la propiedad arquimédica de $\mathbb{R}$ existe un $n\mathbb{N}$ st. $\frac{1}{n}\lt d((a,b),(0,0))$ lo que significa $(a,b)=(0,0)$ o $(a,b)\notin A_n$ ?

Intento de (b): Necesito una colección de conjuntos ${A_1,A_2,...}$ s.t. $\bigcap^{\infty}_{n=1} A_n$ está abierto. Estoy utilizando para encontrar lo contrario - una colección infinita de conjuntos abiertos cuya intersección es cerrada como en (a). Tengo dificultades para encontrar un conjunto abierto $A$ s.t. $A\subseteq A_n$ $,\forall n$ .

Edición: He tenido una idea para (b): El conjunto $A_n=B_{1+n}((0,0)) \forall n\in\mathbb{N}$ . La intersección infinita debe ser el conjunto abierto $(-1,1)$ ¿correcto?

Answer 1

Estás en el camino correcto para (a). Aquí tienes una pista sobre cómo proceder: Deja que $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ ser distinto de $(0,0)$ es decir $(a,b)\neq(0,0)$ . ¿Qué puede decir sobre $d((a,b),(0,0))$ ? ¿Puede demostrar que, para cualquier $(a,b)\neq(0,0)$ siempre hay un $n\in\mathbb{N}$ tal que $$\frac{1}{n}<d((a,b),(0,0))\quad?$$ ¿Qué dice eso de la relación entre $(a,b)$ y $B_{1/n}((0,0))$ ?

Entonces tendrá que demostrar que $\{(0,0)\}$ no está abierto. Recordemos que un conjunto $S\subseteq\mathbb{R}^2$ está abierto cuando, para cualquier $s\in S$ Hay un poco de $\epsilon>0$ tal que $B_\epsilon(s)\subseteq S$ . La negación de esto (es decir, las condiciones bajo las cuales un conjunto $S\subseteq\mathbb{R}^2$ es no abierto) es que existe algún $s\in S$ para el que, dado cualquier $\epsilon>0$ tenemos $B_\epsilon(s)\not\subseteq S$ .

Nuestro conjunto $S$ es $\{(0,0)\}$ Así que la única opción para $s\in S$ es $s=(0,0)$ . ¿Puede demostrar que, para cualquier $\epsilon>0$ el conjunto $B_{\epsilon}((0,0))$ contendrá puntos distintos de $(0,0)$ y, por lo tanto, no estar contenida en $S=\{(0,0)\}$ ?

Para (b), se supone que debe producir un Abrir establecido en $\mathbb{R}^2$ - el conjunto $\{(0,0)\}$ no está abierto (también deberías ser preciso con tu notación - parece que estás trabajando en $\mathbb{R}$ ??).

He aquí una pista sobre cómo proceder en (b): elegir un conjunto abierto no vacío $U\subseteq\mathbb{R}^2$ . Encuentre una colección infinita $\mathcal{V}=\{V_1,V_2,\ldots\}$ de conjuntos abiertos distintos de $\mathbb{R}^2$ tal que $U\subset V_i$ para todos $i$ . Entonces que su colección sea $\mathcal{V}\cup\{U\}$ . ¿Ves por qué esto funciona?