Cómo simplificar la congruencia modular: $4k\equiv 4(\text{mod } 16)$

Question

El problema surgió cuando estaba resolviendo las dos congruencias modulares: $$x^2\equiv 16(\text{mod } 20)$$ $$x^2\equiv20(\text{mod }16)$$ Así que puse $x^2=20k+16$ . Lo que nos lleva a $$20k\equiv4k\equiv4(\text{mod }16)$$ Ahora quiero llevar la congruencia anterior a la forma $$k \equiv \text{some number}(\text{mod }16)$$ ¿Cómo lo hago?

Edición: Siguiendo las indicaciones de la respuesta de abajo, he intentado resolver las congruencias modulares $x\equiv1(\text{mod }5);x\equiv2(\text{mod }4)$ y $x\equiv-1(\text{mod }5);x\equiv2(\text{mod }4)$ . Lo hice fijando $x=5k+1$ y luego obtener $x=5(4p+1)+1=20p+6$ . Luego, en la segunda, puse $x=5k-1$ y luego obtener $x=5(4p+3)-1=20p+14$ .

¿Son correctas estas dos soluciones?

Answer 1

Sus ecuaciones son $$ \begin{align} x^2\equiv20\pmod{16} &\implies\frac{x^2}4\equiv1\pmod4\\ &\implies\frac x2\equiv1,3\pmod4\tag{1} \end{align} $$ y $$ \begin{align} x^2\equiv16\pmod{20} &\implies\frac{x^2}4\equiv4\pmod5\\ &\implies\frac x2\equiv2,3\pmod5\tag{2} \end{align} $$

---

Para resolver $(1)$ y $(2)$ simultáneamente, podemos utilizar el Algoritmo Euclidiano Extendido para obtener $$ 1\cdot5-1\cdot4=1\tag{3} $$ Ecuación $(3)$ implica $(4)$ y $(5)$ $$ \begin{align} 5&\equiv\left\{\begin{array}{} 1&\pmod4\\ 0&\pmod5 \end{array}\right.\tag{4}\\ -4&\equiv\left\{\begin{array}{} 0&\pmod4\\ 1&\pmod5 \end{array}\right.\tag{5} \end{align} $$

---

Podemos utilizar $(4)$ y $(5)$ para obtener $$ \color{#00A000}{1}(5)+\color{#C00000}{2}(-4) =-3\equiv\left\{\begin{array}{} \color{#00A000}{1}&\pmod4\\ \color{#C00000}{2}&\pmod5 \end{array}\right.\tag{6} $$ $$ \color{#00A000}{1}(5)+\color{#C00000}{3}(-4) =-7\equiv\left\{\begin{array}{} \color{#00A000}{1}&\pmod4\\ \color{#C00000}{3}&\pmod5 \end{array}\right.\tag{7} $$ $$ \color{#00A000}{3}(5)+\color{#C00000}{2}(-4) =7\equiv\left\{\begin{array}{} \color{#00A000}{3}&\pmod4\\ \color{#C00000}{2}&\pmod5 \end{array}\right.\tag{8} $$ $$ \color{#00A000}{3}(5)+\color{#C00000}{3}(-4) =3\equiv\left\{\begin{array}{} \color{#00A000}{3}&\pmod4\\ \color{#C00000}{3}&\pmod5 \end{array}\right.\tag{9} $$ $(6)$ - $(9)$ decir que $\frac x2\in\{3,7,13,17\}\mod20$ . Por lo tanto, la solución es $$ x\in\{6,14,26,34\}\mod40\tag{10} $$ que, casualmente, puede escribirse como $$ x\in\{6,14\}\mod20\tag{11} $$

Answer 2

$$x^2\equiv16\pmod{20}$$

$\implies x^2\equiv16\pmod5\equiv1\iff x\equiv\pm1\pmod5\ \ \ \ (1)$

y $x^2\equiv16\pmod4\equiv0\iff x\equiv0\pmod2$

Ahora $x^2\equiv20\pmod{16}\equiv4$

En $x$ debe ser par, $x=2y\implies4y^2=4+16k\iff y^2\equiv1\pmod4 \iff y\equiv1\pmod2$

$\implies x=2y\equiv2\pmod4\ \ \ \ (2)$

Aplicar CRT en $(1),(2)$