Variación máxima y mínima

Question

<blockquote> <p>Que $p_i =P(X=i)$ y Supongamos que $p_1+p_2+p_3=1$. ¿Si $E[X]=2$, lo que maximizan los valores de $p_1,p_2,p_3$ <strong>(a)</strong> y <strong>(b)</strong> minimizan $Var(X)$?</p> </blockquote> <p>Hasta ahora tengo $Var(X)=E[(X-E[X])^2]=E[(X-2)^2 =E[X^2-4X+4]=E[X^2]-E[4X]+E[4]=E[X^2]-8+4=E[X^2]-4$</p> <p>$E[X^2]=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3$</p> <p>No estoy considerando alguna información, ¿cómo puedo solucionar esto?</p>

Answer 1

Tenemos $p_1+p_2+p_3=1$$p_1+2p_2+3p_3=2$. Lo que queremos es maximizar/minimizar $p_1+4p_2+9p_3-4$.

Nos puede tratar como un $1$ variable del problema, mediante el uso de las dos primeras ecuaciones para expresar $p_1$ $p_2$ en términos de $p_3$.

Llegamos $p_2=1-2p_3$$p_1=p_3$. Sustituyendo, nos encontramos con que queremos maximizar o minimizar $2p_3$.

Para el máximo, queremos $p_3$ tan grande como sea posible. El mayor $p_3$ que hace $p_2\ge 0$$p_3=1/2$. Hace sentido. La media es $2$, por lo que para la máxima varianza queremos que la distribución sea como propagación como sea posible, con todo el peso en los dos extremos. Uno puede encontrar la respuesta sin que lo anterior "álgebra".

La más pequeña posible,$p_3$$0$, que se concentra toda la masa en el único punto de $2$. De nuevo este sentido, poner toda la masa en $2$ da de la varianza $0$, y uno no puede hacer nada mejor que eso!

Observación: Dado que las restricciones (incluyendo los invisibles $p_i \ge 0$) y la función objetivo es lineal, nuestra max y min debe ser alcanzado en puntos de límite.