El anillo de los enteros es un PID pero no es un dominio euclidiano

Question

He notado que para demostrar que campos como $\mathbb{Q}(i)$ y $\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{3}})$ tienen un número de clase uno, mostramos que son dominios euclídeos al teselar el plano complejo con los puntos $a+bv : a, b \in \mathbb{Z}$, donde $1, v$ es una base integral. Entonces, cualquier $c +dv$ en el campo tiene distancia $\leq 1$ a algún punto de la rejilla. Por otro lado, un argumento geométrico similar falla con el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, que no tiene número de clase uno.

Cualquier anillo de enteros de una extensión finita de $\mathbb{Q}$ es un dominio de Dedekind, por lo tanto un PID si y sólo si un UFD. Pero, ¿puede un anillo así ser un PID pero no ser un dominio euclídeo?

Answer 1

Aquí está lo que creo que es una forma agradable de encontrar algunos PIDs que no son Euclidianos. No es completamente elemental, pero si sabes un poco sobre campos numéricos creo que es mucho más fácil y agradable que el trabajo normal.

Sea $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ para $d>3$ cuadrado libre, con anillo de enteros $\mathcal{O}_K$. Entonces las únicas unidades en $\mathcal{O}_K$ son $\pm1$.

Supongamos que $\mathcal{O}_K$ es Euclidiano con función Euclidiana $\varphi$. Entonces toma $x \in \mathcal{O}_K\setminus\{0,\pm1\}$ con $\varphi(x)$ mínimo. Por definición, cualquier elemento de $\mathcal{O}_K$ puede ser escrito en la forma $px+r$ donde $\varphi(r) < \varphi(x)$, por lo que debe ser que $r \in \{0,\pm1\}$, es decir, $|\mathcal{O}_K/(x)|$ es $2$ o $3$. En otras palabras $\mathcal{O}_K$ tiene un ideal principal de norma $2$ o $3.

Entonces ahora sabemos que si $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ tiene un número de clases uno, donde $d>3$ es cuadrado libre*, $K$ es un PID no Euclidiano si no hay elementos en $\mathcal{O}_K$ de norma $\pm2$ o $\pm3$. Como $K$ es un PID (y grado $2$ sobre $\mathbb{Q}$), esto es equivalente a decir que $2$ y $3$ son inertes. Para encontrar algunos ejemplos entonces:

Si $d = 3\pmod{4}$, $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$, el polinomio minimal de $\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ es $f_d(X)=X^2-X+\frac{1+d}{4}$. Aplicando el criterio de Dedekind se obtiene que $d$ funciona siempre y cuando $f_d(X)$ sea irreducible $\pmod{2}$ y $\pmod{3}$. Esto entonces da que $d = 19$ funciona (que es el ejemplo habitual), pero también muestra que $d = 43,67$ o $163$ funcionan también (¡creo!).

*Se puede demostrar que esto implica que $d \in \{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$

Answer 2

Sí, a continuación hay un bosquejo de una prueba de que $\rm\: \mathbb Z[w],\ w = (1 + \sqrt{-19})/2\ $ es un PID no euclidiano, basado en observaciones de Hendrik W. Lenstra.

La prueba estándar generalmente emplea el criterio de Dedekind-Hasse para probar que es un PID, y el criterio de divisor del lado universal para probar que no es Euclidiano, por ejemplo, ver Dummit y Foote. Este último criterio es esencialmente un caso especial de la investigación de Lenstra, Motzkin, Samuel, Williams entre otros que se aplica en una generalidad mucho más amplia a los dominios euclidianos. Puedes obtener una comprensión más profunda de los dominios euclidianos de los excelentes estudios realizados por Lenstra en Mathematical Intelligencer 1979/1980 (Euclidean Number Fields 1,2,3) y el excelente estudio de Lemmermeyer The Euclidean algorithm in algebraic number fields. A continuación se presenta la prueba esquemática de Lenstra, extraída de la página web de George Bergman.

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Sea $\rm\:w\:$ el número complejo $\rm\ (1 + \sqrt{-19})/2\:,$ y $\rm\:R\:$ el anillo $\rm\: Z[w]\:.$ Mostraremos que $\rm\:R\:$ es un dominio de ideales principales, pero no es un anillo euclidiano. Este es el Ejercicio III.3.8 del libro Álgebra de Hungerford (2da edición), pero no se dan pistas allí; la prueba esbozada aquí fue realizada para mí (Bergman) por H. W. Lenstra, Jr.

$(1)\ $ Verificar que $\rm\ w^2\! - w + 5 = 0,\:$ que $\rm\ R = \{m + n\ w\ :\ m, n \in \mathbb Z\} = \{m + n\ \bar w\ :\ m, n \in \mathbb Z\},\:$ donde la barra denota la conjugación compleja, y que el mapa $\rm\ x \to |x|^2 = x \bar x\ $ es un valor entero no negativo y respeta la multiplicación.

$(2)\ $ Deducir que $\rm\ |x|^2 = 1\ $ para todas las unidades de $\rm\:R\:,\:$ y usando una cota inferior sobre el valor absoluto de la parte imaginaria de cualquier miembro no nulo de $\rm\:R\:,\:$ concluir que las únicas unidades de $\rm\:R\:$ son $\pm 1\:.$

$(3)\ $ Suponiendo que $\rm\:R\:$ tiene una función euclidiana $\rm\:h,\:$ sea $\rm\:x\ne 0\:$ un no unidad de $\rm\,R\,$ minimizando $\rm\: h(x).\:$ Mostrar que $\rm\:R/xR\:$ consta de las imágenes en este anillo de $\:0\:$ y las unidades de $\rm\:R\:,\:$ por lo tanto tiene cardinalidad a lo sumo de $3$. ¿Qué anillos no nulos hay de tales cardinalidades? Mostrar que $\rm\ w^2 - w + 5 = 0 \ $ no tiene solución en ninguno de estos anillos, y deducir una contradicción, demostrando que R no es euclidiano.

Ahora mostraremos que $\rm\:R\:$ es un dominio de ideales principales. Para hacer esto, sea $\rm\:I\:$ cualquier ideal no nulo de $\rm\:R\:,\:$ y $\rm\:x\:$ un elemento no nulo de $\rm\:I\:,$ de menor valor absoluto, es decir, minimizando el entero $\rm\ x \bar x\:.\:$ Probaremos que $\rm\ I = x\:R\:.\:$ (Así que estamos usando la función $\rm\ x \to x \bar x\ $ como un sustituto de una función euclidiana, aunque no disfruta de todas esas propiedades.)

Para mayor comodidad, "normalicemos" nuestro problema tomando $\rm\ J = x^{-1}\ I\:.\:$ Así, $\rm\:J\:$ es un submódulo de $\rm\:R$ en $\:\mathbb C\:,\:$ conteniendo $\rm\:R\:$ y no teniendo ningún elemento no nulo de valor absoluto $< 1\:.\:$ Mostraremos a partir de estas propiedades que $\rm\: J - R = \emptyset\:,\:$ es decir, que $\rm\ J = R\:.$

$(4)\ $ Mostrar que cualquier elemento de $\rm\:J\:$ que tenga una distancia menor que $1$ desde algún elemento de $\rm\:R\:$ debe pertenecer a $\rm\:R\:.\:$ Concluir que en cualquier elemento de $\rm\ J - R\:,\:$ la parte imaginaria debe diferir de cualquier múltiplo entero de $\:\sqrt{19}/2\:$ por al menos $\:\sqrt{3}/2\:.\:$ (Sugerencia: dibuja un gráfico que muestre el conjunto de números complejos que excluye la observación anterior. Sin embargo, a menos que te digan lo contrario, este gráfico no reemplaza una prueba; solo te ayuda a encontrar una prueba.)

$(5)\ $ Deducir que si $\rm\: J - R\:$ no está vacío, debe contener un elemento $\rm\:y\:$ con parte imaginaria en el rango $\rm\ [\sqrt{3}/2,\ \sqrt{19}/2 - \sqrt{3}/2]\:,\:$ y parte real en el rango $\rm\: (-1/2,\ 1/2]\:.$

$(6)\ $ Mostrar que para tal $\rm\: y\:,\:$ el elemento $\rm\: 2\:y\:$ tendrá una parte imaginaria demasiado cercana a $\:\sqrt{19}/2\:$ para estar en $\rm\: J - R\:.\:$ Concluir que $\rm\ y = w/2\ $ o $\rm- \bar w/2\:,\:$ y por lo tanto que $\rm\ w\ \bar w/2\ \in J\:.$

$(7)\ $ Calcular $\rm\: w\ \bar w/2\:,\:$ y obtener una contradicción. Concluir que $\rm\:R\:$ es un dominio de ideales principales.

$(8)\ $ ¿Qué falla en estos argumentos si reemplazamos $19$ en todo el documento por $17$? ¿Por $23$?

Answer 3

$\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ no es un D.E.

Supongamos que $R=\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ es un D.E.. Sea $N(\cdot)$ la norma euclidiana. Recordemos que el conjunto de unidades en $R$ es $\{\pm 1\}$. Tomamos un elemento $a\notin \{0, \pm 1\}$ tal que $N(a)$ sea mínimo. Para cualquier $b\in R$, tenemos $b=aq+r$, donde $r=0$ o $N(r)

Por otro lado, el polinomio $x^2+x+5$ tiene raíces en $R$ porque $x^2+x+5=[x-(-\frac{1+\sqrt{-19}}{2})][x-(-1+\frac{1+\sqrt{-19}}{2})]$. Entonces $x^2+x+5$ tiene raíces en $R/\langle a\rangle$. Pero $x^2+x+5$ no tiene raíces en $\Bbb{Z}_2$ ni en $\Bbb{Z}_3$. Por lo tanto, $R/\langle a\rangle$ no puede ser isomorfo a $\Bbb{Z}_2$ ni a $\Bbb{Z}_3$.

$\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ es un D.I.P. (Ver cap.13 de Álgebra de Artin)

Dado que $-19\equiv 1\pmod{4}$, calculamos $\mu=\sqrt{\frac{|-19|}{2}}\approx 2.52$ y los enteros primos que no exceden $\mu$ son $2$. Notamos que $x^2-x+\frac{1-(-19)}{4}=x^2-x+5$ es irreducible en $\Bbb{F}_2[x]$. Por lo tanto, $\langle 2\rangle$ es un ideal primo en $\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$. Dado que $\langle 2\rangle$ es principal, la clase de ideal de $\langle 2\rangle$ en el grupo de clases es la identidad. Así, el grupo de clases de ideales es trivial y $\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ es un D.I.P..

Lema 1. El grupo de clases de ideales $\mathcal{C}$ es generado por las clases de ideales primos $P$ cuyas normas son enteros primos $p\leq \mu$

Lema 2. Si $d\equiv 1\pmod{4}$, entonces $\langle p\rangle$ es un ideal primo en $\Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ si y solo si el polinomio $x^2-x+\frac{1-d}{4}$ es irreducible en $\Bbb{F}_p[x]$. $$\begin{array}{rcl} \Bbb{Z}[x] & \stackrel{\langle p\rangle}{\longrightarrow} & \Bbb{F}_p[x] \\ /\langle x^2-x+\frac{1-d}{4}\rangle \downarrow& & \downarrow /\langle x^2-x+\frac{1-d}{4}\rangle \\ \Bbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}] & \stackrel{\langle p\rangle}{\longrightarrow} & R' \end{array} $$