¿Cómo probar que la FCD de la distribución normal estándar es log-cóncava?

Question

¿Cómo puedo probar $ \log ( \Phi (x))$ es cóncavo, donde $ \Phi (x)$ es CDF de N(0, 1) ?

Desde $ \frac {d^2}{dx^2} \log \Phi (x) = \cfrac { \phi (x)[-x \Phi (x) - \phi (x)]}{( \Phi (x))^2}$ es suficiente para mostrar que $-x \Phi (x) - \phi (x) < 0$ para todos $x \in \mathbb {R}$ .

Aquí hay una trama de $ \log \Phi $ :

P.D.

Esto puede ser inexacto pero considero que como abajo:

• $-x \Phi (x) - \phi (x)$ está disminuyendo desde

\begin {alinear} \frac {d}{dx}( -x \Phi (x) - \phi (x)) &= - \Phi (x) - x \phi (x) + x \phi (x) \\ &= - \Phi (x) < 0 \end {alinear}

• $ \lim_ {x \to - \infty } -x \Phi (x) - \phi (x) = 0$ ya que $ \phi (- \infty )=0$ y por la regla de l'Hospital

\begin {alinear} \lim_ {x \to - \infty } -x \Phi (x) &= - \lim_ {x \to - \infty } \cfrac { \Phi (x)}{ \frac {1}{x}} \\ &= \lim_ {x \to - \infty } x^2 \phi (x) \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \lim_ {x \to - \infty } \frac {x^2}{ \exp ( \frac {x^2}{2})} \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \lim_ {x \to - \infty } \frac {2}{ \exp ( \frac {x^2}{2})} \\ &= 0 \end {alinear}

Por lo tanto, $-x \Phi (x) - \phi (x) < 0$ para todos $x \in \mathbb {R}$

Answer 1

En lugar de utilizar la segunda derivada, es más fácil verificar la logoconvolución utilizando la Desigualdad Prekopa-Leindler .

Deje que $q$ ser una densidad logarítmica cóncava en $ \mathbb {R}$ con la correspondiente FCD $Q$ . Por arbitraria $a, b \in \mathbb {R}$ y $ \lambda \in [0, 1]$ en el set $t = \lambda a + (1 - \lambda )b$ y definir las siguientes tres funciones: $$ \begin {align*} h(x) &= q(x) I\{x \le t\} \\ f(x) &= q(x) I\{x \le a\} \\ g(x) &= q(x) I\{x \le b\} \end {align*}$$

Es fácil ver que estas funciones satisfacen la desigualdad $$f(x)^ \lambda g(y)^{1 - \lambda } \le h( \lambda x + (1 - \lambda ) y)$$ para todos $x, y \in \mathbb {R}$ . Esto significa que podemos aplicar la desigualdad Prekopa-Leindler: $$ \left ( \int f(x) \, dx \right )^ \lambda \left ( \int g(x) \, dx \right )^{1 - \lambda } \le \int h(x) \, dx$$

Tomando el logaritmo de ambos lados y aplicando la definición de la FCD $Q$ ahora tenemos $$ \lambda \log Q(a) + (1 - \lambda ) \log Q(b) \le \log Q(t) = \log Q( \lambda a + (1 - \lambda ) b),$$ es decir. $Q$ es cóncava de tronco.

Answer 2

Como alternativa al resultado (no fácil de probar) de la preservación de la cavidad logarítmica bajo integración se puede adoptar un enfoque sencillo. Aquí está el ejercicio de Boyd, Vandenberghe, Optimización de la convexidad con pasos de solución