Intuición sobre Teorema del valor medio

Question

La siguiente es mi opinión, por favor corrija si estoy equivocado o no buena explicación:

si conseguimos $a, b$, entonces no debe ser una constante cambio-tasa de $m$$(a, f(a))$$(b, f(b))$, si la función ir a esta recta, entonces todo punto de ha derivada igual a m, si $f'(x)$ mayor o menor que m, entonces debe de estar en algún lugar a la menor o mayor que m para llegar a la f(b), entre ellos, cumple con la m. Si conseguimos que este "sentimiento", luego el teorema es natural y obvio : no debe existir al menos un x, $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$

Me doy cuenta de que si yo pienso de esta manera para obtener la matemática sentimiento detrás de las definiciones o teoremas, entonces la mayoría de ellos son sólo naturales, por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo, si una función $f(x)$, consideramos que el valor de la función como el cambio de la tasa de, $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\sum_{i=1}^{n}f(x_i)(x_{i}-x_{i-1})\right]$$ is just how much the original function-value changes, i.e. $\Delta F(x)=F(b)-F(a)$

Pero para algunas otras cosas que siempre se llama a las reglas, parece que no se puede entender directamente, como la regla de la Cadena, he podido demostrar que por definición básica de la derivada, pero no puede "sentir" como de la misma manera, con una Media de-teorema del Valor.

Answer 1

En términos generales, sí, tu intuición es, de hecho, la forma estándar en que, por ejemplo, de explicar el Valor medio Teorema: si usted piensa que de $f(t)$ como la función de posición, y la pendiente de la línea de $(a,f(a))$ $(b,f(b))$es la velocidad promedio.

Si la velocidad media es $m$ unidades de distancia por unidad de tiempo, entonces esperamos que haya algún instante en el que íbamos en exactamente $m$ unidades de distancia por unidad de tiempo: intuitivamente, no siempre podemos ir más lento que el promedio, ni siempre más rápido que el promedio, por lo que "en algún momento entre un instante en el que vamos más lento que el promedio, y un instante en el que vamos más rápido que el promedio, nos va a exactamente la velocidad media."

Por supuesto, obtener todos los detalles de clavado es algo complicado, y usted tiene que tomar en cuenta las funciones cuya derivados puede no ser continua (continua derivados, puede invocar el Teorema del Valor Intermedio). Así que, después de un primer brote de estar seguro de que esto definitivamente va a ser verdad, es que de repente no del todo obvio que esto va a funcionar para todas las funciones que se diferenciable en todas partes en $(a,b)$ (y continua en $[a,b]$), por lo que hay en realidad es algo que el Valor medio Teorema.

También se relaciona el Teorema de Darboux, que es el que le dice que la propiedad que queremos que siempre se mantiene, incluso si la derivada no es continua: si $f(x)$ es diferenciable en a $(a,b)$ y continua en $[a,b]$, $f'(x)$ tiene el valor intermedio de la propiedad: si $f'_{+}(a)$ es el derecho derivado en $a$ ($\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$) y $f'_{-}(b)$ es la izquierda derivado en $b$ ($\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$), y $k$ es un número entre el$f'_{+}(a)$$f'_{-}(b)$, entonces no es un punto $t$, $a\lt t\lt b$, tal que $f'(t)=k$.

Answer 2

Esta imagen puede ayudar en la intuición. de Cauchy Generalizado Valor medio Teorema. Función requerida. (S. A. pp 140 t5.3.5)

Yo parámetros la imagen a la pregunta de Cauchy Generalizado Valor medio Teorema, pero puede ignorar el $g(t)$ en el eje x aquí. Ergo deshacer la parametrización por la agencia de $g(t) = t$. A continuación, $g(c)$ es verdaderamente c, $g(d)$ d.