Ideales primos mínimos y mínimos asociados

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo noetheriano y fije un ideal $I$ . Es un resultado clásico que $I$ admite una descomposición como intersección de ideales primarios, todos cuyos radicales son diferentes y de los cuales no se puede omitir ninguno en la intersección. Los radicales de estos ideales primarios se denominan ideales primos asociados de $I$ . Puede demostrarse que son independientes de la descomposición primaria concreta utilizada.

Mi pregunta es si los primos mínimos sobre $I$ y los mínimos primos asociados de $I$ coinciden.

Debe quedar claro que una prima mínima asociada $P$ también es mínimo sobre $I$ . En caso contrario, podemos encontrar un primo mínimo sobre $I$ por debajo del $P$ -componente principal de $I$ e insertarlo en una descomposición primaria mínima de $I$ en lugar del $P$ -componente principal.

Sin embargo, no estoy tan seguro de la otra inclusión. Creo que la misma demostración anterior funcionaría si supiéramos que hay un primo asociado por encima de cualquier primo mínimo sobre $I$ pero no sé si es el caso.

Answer 1

Sí, los primos mínimos asociados de $I$ coinciden con los primos absolutamente mínimos de $I$ . (Sólo mostraré la parte que aún no has hecho).

Supongamos que su descomposición primaria es $I=Q_1\cap\cdots\cap Q_n$ y considerar un primo absolutamente mínimo $P\supset I$ .
Desde $P=\sqrt P\supset \sqrt I=P_1\cap\cdots\cap P_n\supset P_1 \cdots P_n$ debemos tener $P\supset P_i$ para algunos $i$ (y por supuesto $P_i\supset \sqrt I\supset I$ ).
Minimalidad absoluta de $P$ se llega a la conclusión: $P= P_i$ .