Problemas en los Teoremas de Sylow

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, vamos a $p\in\mathbb{N}$ ser una de las primeras y dejar $$(ab)^p=a^pb^p,~~ \forall a,b\in G$$

Demostrar que $G$ tiene un único sylow $p-$subgrupo.

Answer 1

Por los teoremas de Sylow, $a \in G$ es un elemento de algunos sylow $p$-subgrupo de $G$ si y sólo si $a^{p^n} = 1$ algunos $n>0$. Consideremos el conjunto a $S = \{a \in G: \exists n>0 \text{ such that } a^{p^n}=1\}$.

1. Mostrar que la supuesta propiedad implica que $S$ es un subgrupo.

2. Por cualquiera de los teoremas de Sylow o de Cauchy teorema aplicado al grupo $S$ de este subgrupo debe ser un $p$-subgrupo de $G$.

3. Dado que todos los otros $p$ subgrupo debe estar contenida en $S$, $S$ los formularios de un máximo de $p$-subgrupo de $G$, que es exactamente lo que un Sylow $p$-subgrupo. La unicidad se sigue inmediatamente.