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¿Dónde está el error en esta prueba?

No puedo descifrar dónde está el error:

z=reiϕ=re2πiϕ2π=r(e2πi)ϕ2π=r1ϕ2π=r1=r

Y encontramos que los números complejos en realidad son reales, lo cual no puede ser cierto.

3voto

Drew Jolesch Puntos 11

Las "reglas normales" de los exponentes que estás utilizando no necesariamente se aplican en el dominio complejo, en particular, cuando iC está involucrado.

Para zCR,ezu(ez)u cuando uZ.

Específicamente, en tu caso, z=re2πiϕ2π

Ver en particular este enlace: Wikipedia: "Algunas identidades para potencias y logaritmos para números reales positivos fallarán para números complejos, no importa cómo se definan las potencias complejas y los logaritmos complejos como funciones de valor único."

2voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

z=r\exp(i\phi)=r\exp\left(\frac{2\pi i\phi}{2\pi}\right)\stackrel?=r\exp(2\pi i)^{\frac\phi{2\pi}}

z=r\exp(i\phi)=r\exp\left(\frac{2\pi i\phi}{2\pi}\right)\stackrel?=r\exp(2\pi i)^{\frac\phi{2\pi}}

2voto

cstich Puntos 18

En el dominio complejo, no es generalmente verdadero que (e^z)^w= e^{zw}. Solo es cierto si w es un elemento de \mathbb Z.

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