¿Dónde está el error en esta prueba?

Question

No puedo descifrar dónde está el error:

$$z=re^{i\phi}=re^{\large \frac{2\pi i\phi}{2\pi}}=r(e^{2\pi i})^{\large\frac{\phi}{2\pi}}=r1^{\large\frac{\phi}{2\pi}}=r1=r$$

Y encontramos que los números complejos en realidad son reales, lo cual no puede ser cierto.

Answer 1

Las "reglas normales" de los exponentes que estás utilizando no necesariamente se aplican en el dominio complejo, en particular, cuando $i \in \mathbb{C}$ está involucrado.

Para $z \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R},\; e^{zu} \neq (e^z)^u$ cuando $u \notin \mathbb{Z}$.

Específicamente, en tu caso, $\;z = re^{\Large \frac{2\pi i\phi}{2\pi}} \not\rightarrow r(e^{2\pi i})^{\Large\frac{\phi}{2\pi}}$

Ver en particular este enlace: Wikipedia: "Algunas identidades para potencias y logaritmos para números reales positivos fallarán para números complejos, no importa cómo se definan las potencias complejas y los logaritmos complejos como funciones de valor único."

Answer 2

$$z=r\exp(i\phi)=r\exp\left(\frac{2\pi i\phi}{2\pi}\right)\stackrel?=r\exp(2\pi i)^{\frac\phi{2\pi}}$$

$$z=r\exp(i\phi)=r\exp\left(\frac{2\pi i\phi}{2\pi}\right)\stackrel?=r\exp(2\pi i)^{\frac\phi{2\pi}}$$

Answer 3

En el dominio complejo, no es generalmente verdadero que $(e^z)^w= e^{zw}$. Solo es cierto si $w$ es un elemento de $\mathbb Z$.