Dependencia e independencia lineal

Question

He llegado a través de una pregunta en Álgebra Lineal que no puedo entender. He probado multitud de cosas que o bien no funcionan o no son suficientes para convencer a los que me entiendo independencia lineal bastante bien.

Sé que un conjunto de vectores S, en el espacio vectorial V son linealmente independientes si su combinación lineal, es decir,

$\lambda_1 \mathbf{v}_1 + ... + \lambda_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

significa que todos los escalares son iguales entre sí y 0,

$\lambda_1 = ... = \lambda_n = 0.$

También puedo mostrar un conjunto de vectores S es linealmente independiente si estoy dado un conjunto de vectores con valores numéricos - mediante la creación de una matriz y la reducción escalonada. Sin embargo, a mi entender no es lo suficientemente grande como para que yo pueda expandir y responder a preguntas tales como las siguientes:

Suponga que los vectores u, v y w son linealmente independientes de los elementos de un espacio vectorial V. Para cada uno de los siguientes conjuntos de decidir si es linealmente independiente.

A. {u + v + w, v - 2w, 2u + 3w}

B. {u + 2w, v + 2w, 2w}

C. {x, y, z}

donde,

x = u + 2v - w,

y = 2x + u + 2v - w,

z = 3x - 2y.

Si alguien puede que me explique la conexión entre este tipo de pregunta y de la definición de independencia lineal por responder o dar una pauta de cómo responder a Una, entonces espero que me pueden hacer frente a B y C y las correspondientes preguntas. Gracias.

Answer 1

Sugerencia: En ambos casos, escriba las coordenadas de los vectores del conjunto con respecto a la configuración original como filas en una matriz. Fila de reducir esta matriz.

Answer 2

Básicamente tiene que escribir la definición de independencia lineal. Supongamos que $$ \alpha(u+v+w)+\beta(v-2)+\gamma(2u+3w)=0. $$ Podemos reescribir esto como $$ (\alpha+2\gamma)\,u+(\alpha+\beta)\,v+(\alpha-2\beta+3\gamma)\,w=0. $$ Desde $u,v,w$ son linealmente independientes, obtenemos las igualdades $$ \alpha+2\gamma=0,\ \ \alpha+\beta=0,\ \ \alfa-2\beta+3\gamma=0. $$ Ahora usted puede analizar este sistema. Si la única solución es $\alpha=\beta=\gamma=0$, usted sabrá que los tres vectores son linealmente independientes. Si usted produce una solución distinto de cero, usted sabe que ellos son linealmente dependientes.

Answer 3

Basta usar la definición. Para el primer caso se puede escribir:

$$\lambda_1(u+v+w)+\lambda_2(v-2w)+\lambda_3(2u+3w)=0$$

ahora escribir como:

$$(\lambda_1+2\lambda_3)u+(\lambda_1+\lambda_2)v+(\lambda_1-2\lambda_2+3\lambda_3)w=0$$

Ahora utilizar ese $u,v,w$ son independientes, resolver el sistema y encontrar $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$.

¿Puede terminar?

Answer 4

¿para A: tenemos $$\alpha(u+v+w)+\beta(v-2w)+\gamma(2u+3w)=0$ $ esto es equivalente a $$u(\alpha+2\gamma)+v(\alpha+\beta)+w(\alpha-2\beta+3\gamma)=0$ $ puede terminar? para B: conseguimos $$u\alpha=0,v\beta=0,w(2\alpha+2\beta+2\gamma)=0$ $