Recordemos que cada uno de los elementos de $\def\B{\mathcal B}\B^*$ es una forma lineal que es cero uno todos los elementos de $\B$ excepto uno (digamos $~b$ ), donde toma el valor $~1$ . Es la función de coordenadas para ese vector base $~b$ cuando se aplica a cualquier combinación lineal de los vectores base $~\B$ devuelve el coeficiente que se utilizó para $~b$ (o en caso de $b$ no se ha utilizado en absoluto, devuelve $0$ ). Por definición de una base, cada $v\in V$ se puede escribir únicamente como una combinación lineal de elementos de $~\B$ por lo que se obtiene una descripción bien definida del valor de nuestro elemento de $~\B^*$ en cualquier elemento de $~V$ .
El conjunto $\B^*$ es siempre linealmente independiente. Para ver esto se argumenta que para cualquier combinación lineal $L$ de elementos de $~\B^*$ que produce la función cero en $~V$ cada coeficiente utilizado en $L$ debe ser cero (definición de independencia lineal). Fijación de un elemento $~\beta$ de $~\B^*$ para el que consideraremos el coeficiente en $L$ , es ( $\beta$ ) es la función de coordenadas asociada a algún $b\in\B$ como se ha descrito anteriormente. A la inversa, se puede recuperar el coeficiente de $\beta$ en una combinación lineal $~L$ aplicando el valor de $~L$ (una función lineal sobre $~V$ ) al vector $~b$ . Esto se debe a que cada término en $~L$ que no implique $~\beta$ es tomar la coordenada de algún vector base de $~\B$ otros que $~b$ y para el vector $~b$ estas coordenadas son $~0$ el único término de $~L$ que afecta a su valor en $~b$ es el que involucra a $~\beta$ . Pero suponemos que el valor de $~L$ es la función cero, por lo que aplicándola a $~b$ ciertamente nos da $0$ y éste es el coeficiente de $~\beta$ en $~L$ ; hemos demostrado nuestra pretensión.
Hasta aquí, todo se mantiene si $\B$ es finito o no. Pero la finitud está incorporada en la definición de combinación lineal: una combinación lineal de vectores de un conjunto $S$ se obtiene escogiendo finamente muchos elementos de $S$ multiplicando cada uno de ellos por algún coeficiente, y sumando los resultados. (Por eso he añadido la cláusula "en caso de que $b$ no se utiliza en absoluto"). No puede ser de otra manera, ya que en la adición de infinitos vectores no está definido en general (considere la adición de todo los monomios $X^i$ en el espacio vectorial de polinomios en $X$ ). Ocasionalmente es útil considerar, para un conjunto infinito $~S$ , combinaciones lineales formalmente infinitas adjuntando coeficientes a todos los elementos de $~S$ pero esto sólo tiene sentido si sólo un número finito de esos coeficientes es distinto de cero; el significado es entonces la combinación lineal de esos términos nulos.
Esto se pone de manifiesto cuando investigamos si $\B^*$ genera (abarca) el espacio dual $~V^*$ . Dada una forma lineal $\alpha\in V^*$ hemos visto que si $\alpha$ puede escribirse como (el valor de) una combinación lineal $L$ de elementos de $~\B^*$ entonces el coeficiente en $~L$ de $\beta\in\B^*$ asociado a algún $~b\in\B$ debe sea igual al valor $~\alpha(b)$ . Pero esto es problemático en general si $\B$ es infinito: podría ser que $\alpha(b)\neq0$ para un número infinito de $~b\in\B$ y en ese caso se obtiene un requisito imposible para la combinación lineal $~L$ . Siempre que $\B$ es infinito, siempre hay tales $\alpha\in V^*$ que son problemáticas, ya que las funciones lineales están determinadas por sus valores en los elementos de una base dada (aquí $\B$ ), cuyos valores pueden ser arbítricos: restricción a $~\B$ da una biyección entre $V^*$ y el conjunto $\mathcal F(\B,\Bbb R)$ de todo funciones $\B\to\Bbb R$ (a veces también se escribe $\Bbb R^\B$ ); se podría, por ejemplo, elegir $\alpha$ con $\alpha(b)=1\neq0$ para todos $b\in\B$ . Por otro lado, para aquellos $\alpha$ para lo cual $\alpha(b)\neq0$ sólo se produce para un número finito de $b\in\B$ se obtiene una combinación lineal válida $~L$ de elementos de $~\B^*$ y el valor de $~L$ coincide con $~\alpha$ ya que ambos toman los mismos valores para cada $b\in\B$ . Esto demuestra, en particular, que si $\B$ es finito, entonces $\B^*$ abarca $V^*$ .
Juntos (y utilizando el hecho de que todas las bases de $V$ tienen el mismo número de elementos) esto demuestra que $\B^*$ es una base de $V^*$ si y sólo si $\B^*$ abarca $V^*$ si y sólo si $\B$ es finito si y sólo si $V$ es de dimensión finita.
