Derivación de las ecuaciones de Lagrange-Charpit

Question

Estoy trabajando a través de la derivación de la de Lagrange-Charpit ecuaciones presentadas en este artículo de la Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Fully_nonlinear_case

Estoy interesado en el "plenamente" el caso no lineal. Donde tenemos:

$$F(x_1,...,x_n,u,p_1,...,p_n)=0 $$ Y $$ p_i=\frac{\partial u}{\partial x_i} $$

Yo estoy bien con la derivación hasta el punto en donde se dice que (También, $\dot{x_i}=dx_i/ds$):

$$\sum_i(\dot{x}_idp_i-\dot{p_i}dx_i)=0 $$

Sigue tomando el exterior derivados de:

$$ du-\sum_ip_idx_i=0 $$

De lo poco que sé sobre el exterior de los derivados, parece que haciendo esto daría (para el caso de dos dimensiones):

$$0=\left(\frac{\partial p_2}{\partial x_1}-\frac{\partial p_1}{\partial x_2}\right)dx_1\wedge dx_2 $$

Debido a $ddu=0$ y el anti-simetría de la cuña del producto. No veo cómo este resultado conduce a una dada. Podría alguien ayudarme? Me siento como que hay algo muy simple que me estoy perdiendo.

Answer 1

$ \newcommand{\pd}[2]{ \frac{\partial #1}{\partial #2} } $ Atendiendo a la respuesta positiva a mi solicitud de que el OP, considere la posibilidad de la no-lineal de 1er orden PDE:

$$F(x_i,u,p_i) = 0, \quad i = 1,\ldots, n, \quad p_i = \pd{u}{x_i}, \quad u = u(x_1,\ldots,x_n). \tag{1}$$

Suponga $F \in \mathcal{C}^1_{x_i}$ y calcular la derivada parcial de la ecuación. $(1)$ con respecto al $x_i$:

$$\pd{F}{x_i} + \pd{F}{u}\pd{u}{x_i} + \pd{F}{p_i}\pd{p_i}{x_i} = 0,$$

o lo que es equivalente:

$$\pd{F}{x_i} + p_i \pd{F}{u} + \pd{F}{p_i}\pd{p_i}{x_i} = 0,$$

que es un quasilinear PDE para $p_i$ que puede ser fácilmente resuelto líder en el conjunto de ecuaciones se conoce como de Lagrange-Charpit ecuaciones:

$$ \color{blue}{\large{\frac{\mathrm{d}x_i}{\pd{F}{p_i}} = -\frac{\mathrm{d}p_i}{\pd{F}{x_i}+p_i \pd{F}{u}} = \frac{\mathrm{d}u}{\sum_ip_i \pd{F}{p_i}}}} $$

donde la última igualdad proviene del hecho de $\sum_i p_i \mathrm{d}x_i = \mathrm{d}u. $

Espero que esto ayude.

Saludos!

Answer 2

sea el pde general f(x,y,z,p,q)... 1 puesto que depende de z (dz y)and(x) entonces, dz=dz/dx.dx+dzdy.dy = pdx + qdy... 2 sea otra relación Q(x,y,z,p,q)... 3 en la solución 1 y 3, obtenemos el valor de p y q para determinar Q diferenciamos w.r.t x y y. eliminar luego, dp/dx