Colocar un círculo en un enrejado cuadrado

Question

Pregunta de dos partes. Considere la posibilidad de la plaza de celosía $\mathbb{Z}^2$:

Imagínese que usted va a colocar un círculo de radio $r$ en algún lugar de $\mathbb{R}^2$.

Pregunta 1:

¿Cuál es el radio del círculo más grande que no se puede colocar en cualquier lugar de $\mathbb{R}^2$ sin que se solapen o que contengan cualquiera de los puntos en $\mathbb{Z}^2$?

Estoy bastante seguro de que la respuesta es $r < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Si usted coloca un círculo con el centro, por ejemplo,$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, calcular la radio que iba a tocar las cuatro esquinas es muy fácil, pero no sé cómo probar que este es el mejor lugar para hacerlo, ya que intuitivamente obvia como podría ser.

Pregunta 2:

Un círculo con un radio de $r$, de tal manera que $0 < r \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ está puesto al azar en algún lugar de $\mathbb{R}^2$. ¿Cuál es la probabilidad de que, como una función de $r$, que el círculo contiene o se superpone al menos un punto en la red?

Mi sospecha es tratar de considerar sólo un subconjunto limitado del plano 2D, por ejemplo,$-1 < x < 1$$-1 < y < 1$, y, a continuación, hacer algo con las proporciones del área del círculo y el área de la región limitada, pero no estoy exactamente seguro de lo que haría con eso. Obviamente, la probabilidad es de 1 para todos los $r \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$, porque de la pregunta 1.

Answer 1

Para la primera pregunta es suficiente para considerar la colocación de los círculos en el dominio de la red, que es la unidad de la plaza. La distancia máxima a la más cercana vértice está de hecho en el centro, así que el círculo se puede colocar sin que contengan cualquiera de los vértices, si y sólo si $r < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

En la segunda pregunta que sería necesario especificar en primer lugar lo que significa lugar al azar, un círculo de radio de $r$ en el avión. Creo que en la cuestión de la interpretación más natural es considerar $\mathbb{R}^2$ modulo $\mathbb{Z}^2$, y el lugar en el círculo de manera uniforme en el dominio de la red, es decir, la unidad de la plaza. Si $r < \frac{1}{2}$, entonces la respuesta es fácil: Cada vértice tiene un cuarto de círculo de radio $r$ de los puntos que tienen la propiedad de que un círculo se colocan en ellos se contienen el vértice. Por lo tanto la probabilidad es $\frac{1}{2} \tau r^2$ ($\tau = 2\pi$). Si $r \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$, la respuesta es de nuevo fácil: Cualquier círculo contendrá uno de los vértices. Por último tenemos el caso de $\frac{1}{2} \le r < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Entonces es posible que el mismo círculo contiene $2$ vértices, por lo que tenemos que restar $4$ veces el área de la lente en forma de figura, entre dos círculos de barrio. Si he calculado bien, la probabilidad debe ser $$\frac{1}{2} \tau r^2 - 4 r^2 \arcsin\left(\frac{\sqrt{4r^2 - 1}}{2r}\right) + \sqrt{4r^2 - 1}$$

Answer 2

Usted puede considerar el punto más cercano en la red para el círculo del centro. Esto induce a una de Voronoi de la partición del plano, el cual, en estos casos, corresponde a las plazas.

Esto ya respuestas pregunta 1: la mayor distancia más cercana a la celosía punto es la mitad de la diagonal de la unidad de la plaza.

Y ya respuestas a la pregunta 2: teniendo en cuenta que la probabilidad de uniforme en esta plaza, la probabilidad de que no toque el punto más cercano (y, por lo tanto, cualquier punto) está dada por:

1. Si $r \le1/2$: zona de la plaza de restar de un círculo: $p(r)=1-\pi r^2$

2. Si $r > 1/2$: área de las cuatro esquinas