Hay un continuo $f(x,y)$ que no es de la forma $f(x,y) = g_1(x) h_1(y) + \dots + g_n(x) h_n(y)$

Question

Para una función continua $f : [0,1]^2 \to \mathbb{R}$, digamos, $f$ es una suma de productos (SOP) si existe un entero $n > 0$ y funciones continuas $g_1, \dots, g_n, h_1, \dots, h_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $$f(x,y) = g_1(x) h_1(y) + \dots + g_n(x) h_n(y)$$ para todos los $x,y \in [0,1]$.

¿Cómo puedo indicar que existe un continuo de $f$ que es no un SOP?

Creo que esto debería ser fácil, pero por alguna razón no veo cómo proceder.

Tenga en cuenta que la Stone-Weierstrass teorema dice que toda función continua en $[0,1]^2$ es un límite uniforme de procedimientos Normalizados de trabajo. Quiero ver que usted no puede bajar el límite.

Es la misma verdad, si reemplazamos $[0,1]$ por un arbitrario infinito compacto Hausdorff espacio?

Answer 1

Vamos a llamar a $f$ $n$- SOP si podemos escribir

$$f(x,y) = \sum_{k = 1}^n g_k(x)\cdot h_k(y)$$

con funciones continuas $g_k, h_k \colon [0,1] \to \mathbb{R}$. Si $f$ $n$- SOP, para cada familia $x_1 < x_2 < \dotsc < x_r$$r > n$$[0,1]$, el conjunto de

$$\left\{ \begin{pmatrix} f(x_1,y) \\ f(x_2,y) \\ \vdots \\ f(x_r,y)\end{pmatrix} : y \in [0,1]\right\}$$

está contenida en una $n$-dimensional lineal subespacio de $\mathbb{R}^r$.

Pero

$$\begin{pmatrix} \exp (x_1\cdot 0/r) & \exp (x_1\cdot 1/r) & \cdots & \exp (x_1 \cdot (r-1)/r) \\ \exp (x_2 \cdot 0/r) & \exp (x_2 \cdot 1/r) & \cdots & \exp (x_2 \cdot (r-1)/r) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \exp (x_r\cdot 0/r) & \exp (x_r\cdot 1/r) & \cdots & \exp (x_r \cdot (r-1)/r)\end{pmatrix}$$

es una matriz de Vandermonde, por lo tanto tiene un rango de $r$. Por lo tanto, $(x,y) \mapsto e^{xy}$ no es un $n$-SOP.