preservar orden implica isomorfismo

Question

<blockquote> <p>Que $M = (M, <)$ $N = (N, <)$ ser dos densa totalmente ordenado conjuntos sin extremos.</p> <p>Que $F$ sea la colección de orden conservar mapas entre los subconjuntos finitos de $M,N$ respectivamente.</p> <p>$F$ Es una familia no vacía de isomorfismos parciales entre $M$y $N$ con la propiedad y hacia atrás.</p> </blockquote> <p>Está claro que $F$ es no vacío y cada miembro de $F$ es un mapa inyectivo, pero ¿cómo puedo mostrar es en?</p>

Answer 1

La noción esencial para definir aquí está:

mapa entre los subconjuntos finitos de $M,N$, respectivamente.

Parece que usted interpreta esto como:

$f: M_0\to N_0, \quad M_0\in \mathcal P^{<\omega}(M), ~N_0\in\mathcal P^{<\omega}(N)$

donde $\mathcal P^{<\omega}(X)$ es el conjunto de subconjuntos finitos de $X$ - lo que es muy natural, lo hacen. Ahora, dada la $f:M_0\to N_0$, se puede "extender" a $f':M_0\to N_1$$N_0\subsetneq N_1$, e $f'$ no estaría en.

Por lo que parece que "entre" en "mapa entre [...]" incluye un oculto/omitido surjectivity asunción -- es decir, la intención de definición es la siguiente:

$f: M_0\to N_0, \quad M_0\in \mathcal P^{<\omega}(M),~ N_0\in\mathcal P^{<\omega}(N),~ f[M_0]= N_0$

Ahora bien, si hemos de agregar el "fin de la preservación de" la asunción en $f$ (es decir, $f \in F$), fácilmente se deduce que $f$ es un isomorfismo.

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Alternativamente, uno podría caer a la surjectivity condición para un "isomorfismo parcial de$M$$N$", pero para mí esta definición significa "un isomorfismo entre los subconjuntos de a$M$$N$".