un problema en las funciones de variación acotada

Question

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?
a. cualquier función continua en [$0, 1$] es de variación acotada.
b. Si $f : \mathbb{R} → \mathbb{R} $ es continuamente diferenciable, entonces su restricción al intervalo [$−n, n$] es de variación acotada en ese intervalo, para cualquier entero positivo $n$.
c. cualquier función monótona en [$0, 1$] es de variación acotada.

Sé que (c) es verdadero, pero no está seguro acerca de los demás. ¿Alguien puede ayudarme para las otras opciones?

Answer 1

a) es falsa. Considere la función $$f(x) = \begin{cases} 0 & x=0 \\ x\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) & x\neq 0\end{casos}$$ Yo se lo dejo a usted para mostrar que la función no es de variación acotada pero es continua en a $[0,\ 1]$.

b) es verdadera. La función de $f$ continuo derivado $f'$ en cada intervalo de la forma $I_n = [-n,\ n]$. Por el teorema del valor extremo, $|f'|$ alcanza un máximo de $M$$I_n$. Tomar una partición arbitraria $$\mathcal{P}:\ -n = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = n$$ de $I_n$. A continuación, para cada sub-intervalo de $[x_{i-1},\ x_i]$, por el valor medio teorema, $$f(x_i) - f(x_{i-1}) = f'(c_i)(x_i - x_{i-1})$$ para algunos $c_i \in [x_{i-1},\ x_i]$. Esto implica entonces $$\begin{align}\sum_{i=1}^m\left|f(x_i) - f(x_{i-1})\right| &= \sum_{i=1}^m\left|f(c_i)(x_i - x_{i-1})\right| \\ & \le \sum_{i=1}^m M(x_i - x_{i-1}) \\ & = 2Mn \end{align}$$ Esto es válido para cualquier partición, de modo que la función $f$ es de variación acotada en $I_n$.

Answer 2

Sugerencia

1. Considere la posibilidad de $$f(x) := \begin{cases} x \cdot \sin \frac{1}{x} & x \in (0,1] \\ 0 & x=0 \end{cases}$$
2. Utilice el hecho de que el derivado $f'$ está delimitada en $[-n,n]$ y aplicar el valor medio teorema.